Pourquoi les Allemands croyaient-ils Enigma impossible à casser ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié la Seconde Guerre mondiale et le rôle décisif du renseignement. J'ai vu le film sur Alan Turing et la machine Enigma, présentée comme inviolable. Je me suis demandé d'où venait cette réputation, et j'ai découvert qu'elle tenait au nombre gigantesque de réglages possibles, que l'on peut calculer avec les outils de dénombrement de terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Dénombrer les réglages d'une machine par le principe multiplicatif, les arrangements et les combinaisons, et convertir ce nombre en temps de recherche.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   La machine Enigma chiffrait chaque lettre en la faisant passer par des rotors qui tournaient à chaque frappe, puis par un tableau de connexions. Les opérateurs changeaient de réglage chaque jour. Problématique : combien de réglages possibles, et pourquoi semblait-elle inviolable ?

2. 2. Mathématiques : un triple dénombrement

   4,5 min

   Rotors : on choisit 3 rotors parmi 5 et on les place dans un ordre : $5\times 4\times 3=60$5×4×3=60 possibilités (arrangements).

   Positions de départ : chacun des 3 rotors peut commencer sur l'une des 26 lettres : $26^3=17576$26³=17 576.

   Tableau de connexions : 10 câbles relient 20 lettres par paires. On choisit les 6 lettres non connectées, puis on apparie les 20 autres. Le nombre vaut $\frac{26!}{6!\times 10!\times 2^{10}}\approx 1,5\times 10^{14}$26!/6!×10!×2¹⁰≈1,5×10¹⁴ : on divise par $10!$10! car l'ordre des câbles ne compte pas, et par $2^{10}$2¹⁰ car chaque câble relie deux lettres sans sens.

   Total : $60\times 17576\times 1,5\times 10^{14}\approx 1,6\times 10^{20}$60×17 576×1,5×10¹⁴≈1,6×10²⁰ réglages. En bits : ${\log }_2(1,6\times 10^{20})\approx 67$log₂(1,6×10²⁰)≈67.

   Force brute : à un milliard de réglages par seconde (impensable en 1940), il faudrait $\frac{1,6\times 10^{20}}{10^9}\approx 1,6\times 10^{11}$1,6×10²⁰/10⁹≈1,6×10¹¹ secondes, environ 5 000 ans. Et la clé changeait chaque jour. Le tableau de connexions, à lui seul, fournit l'essentiel de ce nombre.

3. 3. HGGSP : comment Enigma a été vaincue

   2,5 min

   Enigma n'a pas été cassée par force brute. Les mathématiciens polonais Marian Rejewski, Jerzy Różycki et Henryk Zygalski l'attaquent dès 1932, en exploitant des faiblesses de procédure. Ils transmettent leurs résultats aux Alliés en 1939. À Bletchley Park, Alan Turing et Gordon Welchman conçoivent les « Bombes », machines qui éliminent les réglages incompatibles avec un mot probable du message.

   Le nombre de réglages ne suffit pas : les erreurs humaines (messages stéréotypés, clés mal choisies) et des failles de conception ont été décisives. Le déchiffrement d'Enigma aurait abrégé la guerre, selon certains historiens de deux ans.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Enigma offrait environ $1,6\times 10^{20}$1,6×10²⁰ réglages, trop pour une force brute, ce qui fondait la confiance allemande. Elle a pourtant été vaincue par l'exploitation de ses faiblesses et des erreurs humaines. Le dénombrement mesure une sécurité théorique, pas la sécurité réelle. J'ouvre sur la faiblesse d'Enigma qui a permis les Bombes : aucune lettre n'était jamais chiffrée en elle-même.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre arrangements et combinaisons pour les rotors.
• Croire qu'Enigma a été cassée par force brute.
• Oublier le rôle des cryptologues polonais.

Revoir les notions

• Combinatoire et dénombrement (Terminale spé maths) →
• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

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