Question transversaleMathsHGGSPL'enjeu de la connaissance

Pourquoi l'imprimerie a-t-elle fait baisser le prix des livres ? Coût fixe et coût moyen

Q: Pourquoi le coût moyen tend-il vers c ?

Le terme $F/n$ tend vers 0 quand le tirage $n$ devient grand.

Q: Calculez le seuil de rentabilité pour F = 1 000, a = 12, c = 2.

$n>(1 000)/10=100$ exemplaires.

Un copiste produisait quelques pages par jour : une Bible de 1 282 pages lui demandait plus d'un an de travail. Avec l'imprimerie, l'essentiel du coût est fixe (composer les pages), puis chaque exemplaire coûte peu. Le coût moyen C(n)/n = F/n + c décroît avec le tirage n et tend vers c : plus on imprime, moins chaque livre coûte. Le savoir devient diffusable à grande échelle.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié la façon dont les révolutions techniques transforment la diffusion des savoirs, et l'imprimerie de Gutenberg, vers 1450, en est le premier grand exemple. Je me suis demandé pourquoi elle avait fait chuter le prix des livres. J'ai compris que la réponse tient dans la structure des coûts, modélisée par une fonction affine et son coût moyen.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un coût total par une fonction affine et étudier le coût moyen, de la forme F/n + c, et sa limite.

Mathématiques

Fonctions affines : coût fixe et coût variable (seconde)
Fonction inverse et variations de F/n + c (seconde)
Limite d'une fonction en +∞ (terminale)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

S'informer : les révolutions de l'information, de l'imprimerie à Internet (première, thème 4)
L'enjeu de la connaissance : diffuser les savoirs (terminale, thème 6)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Avant l'imprimerie, chaque livre était copié à la main. Après, des milliers d'exemplaires circulent en Europe en quelques décennies. Problématique : pourquoi l'imprimerie a-t-elle rendu le livre beaucoup moins cher, et quelles conséquences pour la diffusion du savoir ?
2. Mathématiques : coût fixe, coût moyen
4 min
Copie manuelle : un copiste produit environ 3 pages par jour. La Bible de Gutenberg compte 1 282 pages : une copie demande environ $\frac{1 282}{3} \approx 427$ (1 282)/3≈427 jours de travail. Les 180 exemplaires de Gutenberg auraient demandé environ 210 années de travail de copiste. Le coût est proportionnel au nombre d'exemplaires : $C (n) = a n$ C(n)=a n, et le coût moyen reste constant, égal à $a$ a.
Imprimerie : il faut d'abord composer chaque page avec des caractères mobiles, un coût fixe $F$ F important. Ensuite, une presse imprime de l'ordre de 3 600 pages par jour : les $180 \times 1282 = 230760$ 180×1 282=230 760 pages demandent environ 64 jours de presse. Le coût total devient $C (n) = F + c n$ C(n)=F+c n, avec un coût par exemplaire $c$ c faible.
Le coût moyen vaut $\frac{C ( n )}{n} = \frac{F}{n} + c$ C(n)/n=F/n+c. La fonction $n \mapsto \frac{F}{n}$ nmapstoF/n est décroissante et tend vers 0 : le coût moyen décroît et tend vers $c$ c. Avec $F = 1000$ F=1 000 et $c = 2$ c=2 (unités arbitraires) : 12 pour 100 exemplaires, 3 pour 1 000, 2,1 pour 10 000.
L'imprimerie gagne sur la copie dès que $F + c n < an$ F+cn<an, soit $n > \frac{F}{a - c}$ n>F/(a-c) : au-delà d'un certain tirage, elle est toujours moins chère.
3. HGGSP : une révolution de la connaissance
3 min
On estime que plusieurs millions de livres ont été imprimés en Europe avant 1500, puis des centaines de millions au XVIᵉ siècle. La baisse des coûts a permis la diffusion des textes de la Réforme (les écrits de Luther se répandent en quelques semaines), des traités scientifiques et des textes antiques.
Les savants pouvaient désormais travailler sur des textes identiques, corriger les erreurs et comparer les résultats : l'imprimerie a contribué à la révolution scientifique. Elle a aussi suscité le contrôle des autorités, avec la censure et les listes de livres interdits. La même structure de coûts explique aujourd'hui l'économie du numérique, où le coût d'une copie supplémentaire est presque nul.
4. Conclusion
1,5 min
La copie manuelle a un coût proportionnel au nombre d'exemplaires ; l'imprimerie, un coût fixe puis un coût faible par exemplaire. Le coût moyen $\frac{F}{n} + c$ F/n+c décroît avec le tirage : c'est la clé de la diffusion des savoirs. J'ouvre sur le numérique, où le coût d'une copie tend vers zéro.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

copie : C (n) = an imprimerie : C (n) = F + c n \frac{C ( n )}{n} = \frac{F}{n} + c n \to + \infty c copie : C(n)=an imprimerie : C(n)=F+cn C(n)/n=F/n+c \to c \frac{1 282}{3} \approx 427 jours par Bible \frac{230 760}{3 600} \approx 64 jours de presse n > \frac{F}{a - c} (1 282)/3\approx427 jours par Bible (230 760)/(3 600)\approx64 jours de presse n>F/(a-c)

Conclusion : la réponse à la question

L'imprimerie a transformé un coût proportionnel en un coût fixe suivi d'un coût marginal faible. Le coût moyen décroissant explique la diffusion massive des livres et la révolution de la connaissance qu'elle a permise.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le coût moyen tend-il vers c ?

Le terme $\frac{F}{n}$ F/n tend vers 0 quand le tirage $n$ n devient grand.

Calculez le seuil de rentabilité pour F = 1 000, a = 12, c = 2.

$n > \frac{1 000}{10} = 100$ n>(1 000)/10=100 exemplaires.

Le coût moyen est-il une fonction affine ?

Non : le coût total est affine, le coût moyen est une fonction inverse décalée.

Quel rôle l'imprimerie a-t-elle joué dans la Réforme ?

Elle a permis une diffusion rapide et massive des écrits de Luther et des Bibles en langue vernaculaire.

Comment les autorités ont-elles réagi ?

Par la censure et l'établissement de listes de livres interdits, comme l'Index de l'Église catholique.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre coût total et coût moyen.
Présenter les chiffres de productivité comme exacts : ce sont des ordres de grandeur.
Oublier le coût fixe de la composition.

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