Fonctions affines en Seconde

Les fonctions affines en seconde : cours complet

Les fonctions affines sont les fonctions de la forme $f(x)=ax+b$f(x) = ax + b. Leur représentation est une droite. En seconde, tu approfondis leurs propriétés : coefficient directeur, signe, équations de droites, parallélisme.

Définition

Une fonction affine est de la forme :

$$f(x)=ax+b$$f(x) = ax + b

où $a$a et $b$b sont des nombres réels fixés.

• $a$a est le coefficient directeur.
• $b$b est l'ordonnée à l'origine ($f(0)=b$f(0) = b).
• Si $b=0$b = 0 : $f$f est linéaire ($f(x)=ax$f(x) = ax), passe par l'origine.

Représentation graphique

La courbe représentative est une droite :

• Pente $a$a.
• Ordonnée à l'origine $b$b : point $(0;b)$(0 ; b).

Tracer la droite

1. Placer le point $(0;b)$(0 ; b).
2. Choisir une autre valeur, par exemple $x=1$x = 1, et calculer $f(1)=a+b$f(1) = a + b.
3. Relier les deux points.

Variations

Signe d'une fonction affine

Cas $a>0$a > 0

Cas $a<0$a < 0

Mémoriser

• $a>0$a > 0 : signe de $f$f = signe de $a$a après la racine ($-\frac{b}{a}$-b/a).
• L'expression s'annule en $x=-\frac{b}{a}$x = -b/a.

Calculer $a$a et $b$b à partir de deux points

Soit $A(x_A;y_A)$A(x_A ; y_A) et $B(x_B;y_B)$B(x_B ; y_B) deux points de la droite :

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A)

Puis $b=y_A-a{x}_A$b = y_A - a x_A.

Exemple

Droite passant par $A(1;3)$A(1 ; 3) et $B(4;9)$B(4 ; 9) :

$$a=\frac{9-3}{4-1}=\frac{6}{3}=2$$a = (9 - 3)/(4 - 1) = 6/3 = 2 $$b=3-2\times 1=1$$b = 3 - 2 × 1 = 1

Donc $f(x)=2x+1$f(x) = 2x + 1.

Équation réduite d'une droite

L'équation d'une droite non verticale s'écrit :

$$y=ax+b$$y = ax + b

Une droite verticale s'écrit $x=c$x = c (et n'est pas la représentation d'une fonction).

Droites parallèles

Deux droites $y=ax+b$y = ax + b et $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$y = a'x + b' sont :

• Parallèles ssi $a=a^{\prime }$a = a'.
• Confondues ssi $a=a^{\prime }$a = a' et $b=b^{\prime }$b = b'.
• Sécantes ssi $a\ne a^{\prime }$a ≠ a'.

Pourcentages et fonctions affines

Une augmentation de $p\%$p% ou une réduction de $p\%$p% se modélise par une fonction linéaire :

• Augmentation $p\%$p% : $f(x)=(1+\frac{p}{100})x$f(x) = (1 + p/100) x.
• Réduction $p\%$p% : $f(x)=(1-\frac{p}{100})x$f(x) = (1 - p/100) x.

Inéquations affines

Méthode

Pour résoudre $ax+b\le c$ax + b ≤ c :

1. Soustraire $b$b : $ax\le c-b$ax ≤ c - b.
2. Diviser par $a$a, en changeant le sens si $a<0$a < 0.

Exemple

$$-3x+7\ge 1⟺-3x\ge -6⟺x\le 2$$-3x + 7 ≥ 1 ⇔ -3x ≥ -6 ⇔ x ≤ 2

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre $a$a et $b$b : $a$a est la pente, $b$b est l'ordonnée à l'origine.
• Oublier le sens inversé lors de la division par un négatif.
• Lire la pente à l'envers : pour $a$a, c'est la variation verticale divisée par la variation horizontale ($\Delta y/\Delta x$Δ y / Δ x).
• Confondre fonction et équation : la fonction est $f$f ; la droite est l'objet géométrique d'équation $y=f(x)$y = f(x).

FAQ — Les fonctions affines en seconde

Comment savoir si une situation est affine ?

Si la différence entre deux valeurs de $y$y est proportionnelle à la différence entre deux valeurs de $x$x. Graphiquement, les points sont alignés.

Pourquoi le coefficient directeur s'appelle ainsi ?

Parce qu'il indique la direction (la pente) de la droite : plus il est grand (en valeur absolue), plus la droite est inclinée.

Comment calculer rapidement l'antécédent de $0$0 ?

L'antécédent de $0$0 est $x=-\frac{b}{a}$x = -b/a (racine de la fonction affine).

Une droite verticale est-elle une fonction ?

Non : une droite verticale $x=c$x = c associe à $x=c$x = c une infinité de valeurs $y$y. Donc ce n'est pas une fonction.