Fonction carré et fonction inverse en Seconde

Fonction carré et fonction inverse en seconde : cours complet

Deux fonctions de référence à connaître par cœur en seconde : la fonction carré $f(x)=x^2$f(x) = x² (avec sa parabole) et la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$f(x) = 1/x (avec son hyperbole). Leurs propriétés sont la base de l'analyse au lycée.

La fonction carré

Définition

$$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$$f : ℝ → ℝ, x ↦ x²

Représentation graphique

La courbe est une parabole de sommet $O(0;0)$O(0 ; 0), symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Tableau de variations

• $f$f est décroissante sur $]-\infty ;0]$]-∞ ; 0].
• $f$f est croissante sur $[0;+\infty [$[0 ; +∞[.
• Le minimum est $0$0, atteint en $x=0$x = 0.

Parité

La fonction carré est paire : $f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$f(-x) = (-x)² = x² = f(x).

Tableau de valeurs

Propriétés de la fonction carré

Signe

$$x^2\ge 0\text{ pour tout }x\in \mathbb{R}$$x² ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ

Comparaisons

$$\text{Si }0\le a<b,\text{ alors }{a}^2<b^2$$Si 0 ≤ a < b, alors a² < b²

$$\text{Si }a<b\le 0,\text{ alors }{a}^2>b^2$$Si a < b ≤ 0, alors a² > b²

Équations classiques

• $x^2=k$x² = k (avec $k>0$k > 0) : deux solutions $x=\pm \sqrt{k}$x = ± √(k).
• $x^2=0$x² = 0 : une solution $x=0$x = 0.
• $x^2=k$x² = k (avec $k<0$k < 0) : pas de solution.

Inéquations classiques

• $x^2\le k$x² ≤ k (avec $k>0$k > 0) : $-\sqrt{k}\le x\le \sqrt{k}$-√(k) ≤ x ≤ √(k).
• $x^2\ge k$x² ≥ k (avec $k>0$k > 0) : $x\le -\sqrt{k}$x ≤ -√(k) ou $x\ge \sqrt{k}$x ≥ √(k).

La fonction inverse

Définition

$$f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R},x\mapsto \frac{1}{x}$$f : ℝ^(*) → ℝ, x ↦ 1/x

(Pas définie en $0$0 : on note ${\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ℝ^(*) = ℝ \ {0}.)

Représentation graphique

La courbe est une hyperbole avec deux branches :

• Une dans le quadrant supérieur droit ($x>0$x > 0, $y>0$y > 0).
• Une dans le quadrant inférieur gauche ($x<0$x < 0, $y<0$y < 0).

Elle ne coupe jamais les axes (asymptotes).

Tableau de variations

• $f$f est décroissante sur $]-\infty ;0[$]-∞ ; 0[.
• $f$f est décroissante sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.

Attention : $f$f n'est pas décroissante sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ℝ^(*) (il faut séparer les deux branches).

Parité

La fonction inverse est impaire : $f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x).

Tableau de valeurs

Propriétés de la fonction inverse

Signe

$$\frac{1}{x}>0⟺x>0\frac{1}{x}<0⟺x<0$$1/x > 0 ⇔ x > 0 1/x < 0 ⇔ x < 0

Comparaisons

Sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[ : si $0<a<b$0 < a < b, alors $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$1/a > 1/b (la fonction est décroissante).

Équations classiques

$$\frac{1}{x}=k⟺x=\frac{1}{k}(k\ne 0)$$1/x = k ⇔ x = 1/k (k ≠ 0)

Comparaison des deux fonctions

Erreurs fréquentes à éviter

• Croire que $x^2=x\times 2$x² = x × 2 : c'est $x\times x$x × x, pas $2x$2x.
• Penser que $\frac{1}{x}$1/x est décroissante sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ℝ^(*) : non, seulement sur chaque branche ! (Car $\frac{1}{-1}=-1<\frac{1}{1}=1$1/(-1) = -1 < 1/1 = 1 alors que $-1<1$-1 < 1.)
• Oublier que $\frac{1}{x}$1/x n'est pas définie en $0$0.
• Carré d'un négatif : $(-3{)}^2=9$(-3)² = 9, pas $-9$-9.

FAQ — Carré et inverse en seconde

Pourquoi la fonction carré est-elle paire ?

Parce que $f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$f(-x) = (-x)² = x² = f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Pourquoi $\frac{1}{x}$1/x n'est-elle pas définie en $0$0 ?

Parce que diviser par $0$0 n'a pas de sens mathématique.

Comment résoudre $x^2=16$x² = 16 ?

Deux solutions : $x=4$x = 4 ou $x=-4$x = -4, car les deux donnent $16$16 une fois élevés au carré.

Pourquoi la fonction inverse a-t-elle deux branches ?

Parce qu'elle change de signe en $0$0 : positive pour $x>0$x > 0, négative pour $x<0$x < 0, et indéfinie en $0$0.