Question transversaleMathsHGGSPPuissance et démographie

Pourquoi Paris est-il si grand par rapport aux autres villes françaises ?

Q: Pourquoi tracer log P en fonction de log r ?

La loi $P=P₁/r$ devient $log P=log P₁-log r$, une relation affine.

Q: Combien d'habitants la loi prévoit-elle pour la 4ᵉ ville française ?

$10,9/4≈2,7$ millions, contre environ 1 million en réalité.

La loi de Zipf prévoit que la ville de rang r compte environ P₁/r habitants : la deuxième ville serait deux fois plus petite que la première. En France, l'agglomération parisienne (environ 10,9 millions) est plus de six fois plus peuplée que Lyon (1,7 million) : c'est une macrocéphalie. En traçant log P en fonction de log r, on obtient presque une droite, sauf pour Paris.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié la place des métropoles dans la puissance. Le professeur nous a montré une « loi rang-taille » qui relie la population d'une ville à son rang dans le pays. J'ai été frappé de voir que la France s'en écarte fortement à cause de Paris, alors que l'Allemagne la suit mieux. J'ai voulu comprendre cette loi avec les logarithmes et l'interpréter historiquement.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une loi en puissance, la linéariser par le logarithme et interpréter l'écart au modèle.

Mathématiques

Fonction inverse, lois en puissance (seconde, première)
Logarithme : linéariser y = k x^a (terminale)
Ajustement affine d'un nuage de points (première)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

Les métropoles et la puissance (première, thème 2)
Étudier les divisions politiques du monde : l'État et son territoire (première, thème 3)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
On classe les villes d'un pays par population décroissante : la première, la deuxième, etc. Problématique : existe-t-il une relation régulière entre le rang d'une ville et sa population, et que révèlent les écarts à cette relation ?
2. Mathématiques : une loi en 1/r
4 min
La loi de Zipf (ou loi rang-taille) prévoit $P (r) \approx \frac{P _{1}}{r}$ P(r)approxP₁/r : la deuxième ville compte la moitié de la première, la troisième le tiers, la dixième le dixième.
En passant au logarithme : $lo g P = lo g P_{1} - lo g r$ log P=log P₁-log r. Le nuage des points $(lo g r; lo g P)$ (log r;log P) est alors proche d'une droite de pente $- 1$ -1. On vérifie la loi par un ajustement affine de ce nuage.
France (unités urbaines, ordres de grandeur) : Paris 10,9 millions, Lyon 1,7, Marseille 1,6, Lille 1,05, Toulouse 1,0. Selon Zipf, Lyon devrait compter $\frac{10 , 9}{2} \approx 5, 5$ 10,9/2≈5,5 millions ; le rapport réel $\frac{10 , 9}{1 , 7} \approx 6, 4$ 10,9/1,7≈6,4 est trois fois plus grand. Mais entre les villes suivantes, la loi fonctionne mieux : $\frac{1 , 7}{1 , 05} \approx 1, 6$ 1,7/1,05≈1,6 pour un rapport de rangs de $\frac{4}{2} = 2$ 4/2=2.
Paris est hors de la droite : c'est la macrocéphalie, une capitale démesurée par rapport au réseau urbain. L'Allemagne, avec Berlin (environ 3,7 millions) et Hambourg (1,9 million), est plus proche de la loi : rapport $\approx 2$ ≈2.
3. HGGSP : centralisation et puissance
3 min
La macrocéphalie parisienne est le produit d'une longue histoire de centralisation : monarchie absolue, administration napoléonienne, réseau ferroviaire en étoile. Paris concentre pouvoirs politiques, sièges d'entreprises, universités et culture. C'est un atout de puissance, Paris étant une ville mondiale, mais aussi une source de déséquilibres territoriaux.
L'Allemagne, longtemps morcelée puis fédérale, a un réseau urbain plus équilibré. Les politiques d'aménagement (métropoles d'équilibre en France dans les années 1960, décentralisation) ont cherché à corriger cet écart. La loi rang-taille fournit un outil simple pour comparer les organisations territoriales.
4. Conclusion
1,5 min
La loi de Zipf prévoit une deuxième ville deux fois plus petite que la première ; Paris est plus de six fois plus peuplé que Lyon, signe de macrocéphalie. Le logarithme transforme la loi en droite et fait ressortir l'écart. J'ouvre sur les mégapoles des pays émergents, souvent encore plus macrocéphales.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P (r) \approx \frac{P _{1}}{r} ⟺ lo g P = lo g P_{1} - lo g r (pente - 1) P(r)approxP₁/r\Leftrightarrowlog P=log P₁-log r ( pente -1) Zipf : \frac{P _{1}}{P _{2}} = 2 France : \frac{10 , 9}{1 , 7} \approx 6, 4 Allemagne : \frac{3 , 7}{1 , 9} \approx 2 Zipf : P₁/P₂=2 France : 10,9/1,7\approx6,4 Allemagne : 3,7/1,9\approx2

Conclusion : la réponse à la question

Une loi en puissance, linéarisée par le logarithme, décrit la hiérarchie urbaine de nombreux pays. L'écart de Paris à cette loi mesure une centralisation héritée de l'histoire.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi tracer log P en fonction de log r ?

La loi $P = \frac{P _{1}}{r}$ P=P₁/r devient $lo g P = lo g P_{1} - lo g r$ log P=log P₁-log r, une relation affine.

Combien d'habitants la loi prévoit-elle pour la 4ᵉ ville française ?

$\frac{10 , 9}{4} \approx 2, 7$ 10,9/4≈2,7 millions, contre environ 1 million en réalité.

Qu'est-ce que la macrocéphalie ?

La domination démographique et fonctionnelle d'une ville, souvent la capitale, sur le reste du réseau urbain.

Pourquoi l'Allemagne est-elle plus équilibrée ?

Son histoire d'États séparés puis son organisation fédérale ont réparti les fonctions entre plusieurs grandes villes.

Qu'étaient les métropoles d'équilibre ?

Une politique des années 1960 pour développer de grandes villes régionales face à Paris.

Les pièges qui coûtent des points

Comparer des villes au sens administratif et des agglomérations.
Croire que la loi de Zipf est une loi exacte.
Oublier les causes historiques de l'écart.

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