Question transversaleMathsNSIReprésenter l'information

Pourquoi décaler les bits d'un nombre revient-il à le multiplier ou le diviser par 2 ?

Q: Combien d'additions pour multiplier par 255 avec cette méthode ?

$255=11111111₂$ a 8 bits à 1 : 8 termes, donc 7 additions (ou une soustraction : $256a-a$).

Q: Pourquoi le reste de la division par 2 est-il le dernier bit ?

Tous les autres termes $aᵢ2ⁱ$ avec $i≥1$ sont pairs ; il reste $a₀$.

Décaler l'écriture binaire d'un rang vers la gauche multiplie par 2, vers la droite donne le quotient de la division euclidienne par 2. On en déduit une multiplication rapide : 13 × 6 = 13 × 4 + 13 × 2, obtenu par deux décalages et une addition.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En NSI, j'ai découvert les opérateurs « << » et « >> » de Python. En les essayant, j'ai vu que 5 << 1 donnait 10 et 13 >> 1 donnait 6. J'ai voulu comprendre pourquoi, et j'ai réalisé que c'est l'équivalent binaire d'ajouter un zéro en base 10 : une propriété simple qui permet aux processeurs de multiplier très vite.

L'enjeu et les notions du programme

Démontrer l'effet d'un décalage à partir de l'écriture positionnelle, et en déduire un algorithme de multiplication par additions et décalages.

Mathématiques

Écriture positionnelle, puissances de 2 (seconde)
Division euclidienne, quotient et reste (seconde)
Distributivité, calcul littéral (seconde)

Numérique et sciences informatiques

Écriture binaire des entiers (première)
Opérateurs bit à bit, algorithmes sur les entiers (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
En base 10, multiplier par 10 revient à ajouter un zéro à droite. Problématique : quel est l'équivalent en base 2, et comment s'en servir pour calculer vite ?
2. Mathématiques : démontrer l'effet d'un décalage
4 min
Si $n = a_{k} 2^{k} + \dots + a_{1} 2 + a_{0}$ n=aₖ2^(k)+…+a₁2+a₀, décaler d'un rang vers la gauche donne le nombre $a_{k} 2^{k + 1} + \dots + a_{1} 2^{2} + a_{0} 2 + 0 = 2 n$ aₖ2^(k+1)+…+a₁2²+a₀2+0=2n. Exemple : $10 1_{2} = 5$ 101₂=5 devient $101 0_{2} = 10$ 1010₂=10.
Décaler vers la droite supprime le dernier chiffre $a_{0}$ a₀ : on obtient $a_{k} 2^{k - 1} + \dots + a_{1} = \frac{n - a _{0}}{2}$ aₖ2^(k-1)+…+a₁=(n-a₀)/2. Or $n = 2 q + a_{0}$ n=2q+a₀ avec $a_{0} \in {0; 1}$ a₀∈{0;1} : c'est exactement la division euclidienne par 2, de quotient $q$ q et de reste $a_{0}$ a₀. Exemple : $13 = 110 1_{2}$ 13=1101₂ donne $11 0_{2} = 6$ 110₂=6, et $13 = 2 \times 6 + 1$ 13=2×6+1.
Multiplication : $6 = 11 0_{2} = 4 + 2$ 6=110₂=4+2, donc par distributivité $13 \times 6 = 13 \times 4 + 13 \times 2$ 13×6=13×4+13×2. On décale 13 de deux rangs (52), puis d'un rang (26), et on additionne : 78. On n'a fait que des décalages et une addition, autant d'étapes que de bits à 1 dans le multiplicateur.
3. NSI : opérateurs bit à bit
3 min
En Python, $n << k$ n << k vaut $n \times 2^{k}$ n×2^(k) et $n >> k$ n >> k vaut le quotient de $n$ n par $2^{k}$ 2^(k). Le dernier bit s'obtient par $n & 1$ n & 1, qui vaut le reste de la division par 2 : c'est un test de parité.
Ces opérations sont parmi les plus rapides d'un processeur. Les compilateurs remplacent automatiquement $n \times 8$ n×8 par $n ≪ 3$ nll3. L'algorithme de multiplication par décalages, appelé parfois « multiplication du paysan russe », se programme en quelques lignes : tant que $b > 0$ b>0, si $b$ b est impair on ajoute $a$ a, puis on double $a$ a et on divise $b$ b par 2.
4. Conclusion
1,5 min
L'écriture positionnelle explique tout : décaler vers la gauche multiplie par la base, vers la droite donne le quotient euclidien. En base 2, cela fournit une multiplication par décalages et additions. J'ouvre sur l'exponentiation rapide, qui applique la même idée aux puissances.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

n = \sum a_{i} 2^{i} \Rightarrow \sum a_{i} 2^{i + 1} = 2 n n = 2 q + a_{0} n=Σ aᵢ2ⁱ \Rightarrow Σ aᵢ2ⁱ⁺¹=2n n=2q+a₀ 13 \times 6 = 13 \times (4 + 2) = 52 + 26 = 78 13\times6=13\times(4+2)=52+26=78

Conclusion : la réponse à la question

Les décalages de bits sont la multiplication et la division euclidienne par 2, démontrées par l'écriture en base 2. Ils fondent un algorithme de multiplication dont le nombre d'étapes dépend du nombre de bits, et non de la valeur.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que vaut 7 << 3 ?

$7 \times 2^{3} = 56$ 7×2³=56.

Que vaut 100 >> 2 ?

Le quotient de 100 par 4 : 25.

Combien d'additions pour multiplier par 255 avec cette méthode ?

$255 = 1111111 1_{2}$ 255=11111111₂ a 8 bits à 1 : 8 termes, donc 7 additions (ou une soustraction : $256 a - a$ 256a-a).

Pourquoi le reste de la division par 2 est-il le dernier bit ?

Tous les autres termes $a_{i} 2^{i}$ aᵢ2ⁱ avec $i \geq 1$ i≥1 sont pairs ; il reste $a_{0}$ a₀.

Que donne un décalage à droite sur un nombre négatif en complément à deux ?

Le décalage dit arithmétique recopie le bit de signe : on obtient la division arrondie vers le bas.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que le décalage à droite donne une division exacte : il donne le quotient euclidien.
Confondre le nombre de bits et le nombre de bits à 1.
Oublier qu'un décalage à gauche peut déborder sur un type de taille fixe.

Revoir les notions

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