Calcul littéral et équations en Seconde

Calcul littéral et équations en seconde : cours complet

En seconde, tu approfondis le calcul littéral et la résolution d'équations. Tu maîtrises les identités remarquables, tu apprends à factoriser des expressions plus complexes, et tu résous des équations-produits et des équations-quotients.

Identités remarquables

À connaître par cœur :

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$(a + b)² = a² + 2ab + b²

$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$$(a - b)² = a² - 2ab + b²

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$(a + b)(a - b) = a² - b²

Exemples de développement

$$(2x+3{)}^2=4x^2+12x+9$$(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9

$$(x-5)(x+5)=x^2-25$$(x - 5)(x + 5) = x² - 25

$$(3x-1{)}^2=9x^2-6x+1$$(3x - 1)² = 9x² - 6x + 1

Exemples de factorisation

$$x^2+10x+25=(x+5{)}^2$$x² + 10x + 25 = (x + 5)²

$$9x^2-4=(3x-2)(3x+2)$$9x² - 4 = (3x - 2)(3x + 2)

$$4x^2-12x+9=(2x-3{)}^2$$4x² - 12x + 9 = (2x - 3)²

Stratégies de factorisation

Stratégie 1 : facteur commun

$$ka+kb=k(a+b)$$ka + kb = k(a + b)

Stratégie 2 : identités remarquables

Reconnaître la forme d'une identité remarquable.

Stratégie 3 : factoriser par regroupement

$$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$$ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)

Stratégie 4 : facteur commun « caché »

$$(x+1)(x-2)+(x+1)(3x-5)=(x+1)[(x-2)+(3x-5)]=(x+1)(4x-7)$$(x + 1)(x - 2) + (x + 1)(3x - 5) = (x + 1)[(x - 2) + (3x - 5)] = (x + 1)(4x - 7)

Résolution des équations du premier degré

Forme générale

$$ax+b=0(a\ne 0)⟺x=-\frac{b}{a}$$ax + b = 0 (a ≠ 0) ⇔ x = -b/a

Exemple

$$3x-7=5⟺3x=12⟺x=4$$3x - 7 = 5 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4

Équations-produits

Propriété fondamentale

$$A\times B=0⟺A=0\text{ ou }B=0$$A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0

Exemple

Résoudre $(x-3)(2x+5)=0$(x - 3)(2x + 5) = 0 :

$$x=3\text{ ou }x=-\frac{5}{2}$$x = 3 ou x = -5/2

Avec factorisation

Résoudre $x^2-16=0$x² - 16 = 0 :

$$(x-4)(x+4)=0⟺x=4\text{ ou }x=-4$$(x - 4)(x + 4) = 0 ⇔ x = 4 ou x = -4

Résoudre $x^2-4x+4=0$x² - 4x + 4 = 0 :

$$(x-2{)}^2=0⟺x=2$$(x - 2)² = 0 ⇔ x = 2

Équations-quotients

Méthode

Une équation $\frac{A}{B}=0$A/B = 0 revient à :

$$A=0\text{ et }B\ne 0$$A = 0 et B ≠ 0

Étapes

1. Identifier les valeurs interdites (celles qui annulent le dénominateur).
2. Résoudre $A=0$A = 0.
3. Vérifier que les solutions ne sont pas interdites.

Exemple

Résoudre $\frac{x-3}{2x+1}=0$(x - 3)/(2x + 1) = 0 :

• Valeur interdite : $2x+1=0⟺x=-\frac{1}{2}$2x + 1 = 0 ⇔ x = -1/2.
• $x-3=0⟺x=3$x - 3 = 0 ⇔ x = 3.
• $3\ne -\frac{1}{2}$3 ≠ -1/2, donc la solution est $x=3$x = 3.

Inéquations du premier degré

Règles

• Ajouter ou soustraire le même nombre : sens conservé.
• Multiplier ou diviser par un nombre positif : sens conservé.
• Multiplier ou diviser par un nombre négatif : sens inversé.

Exemple

$$-2x+5\ge 3⟺-2x\ge -2⟺x\le 1$$-2x + 5 ≥ 3 ⇔ -2x ≥ -2 ⇔ x ≤ 1

(Sens inversé car divisé par $-2$-2.)

Tableau de signes

Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient, on utilise un tableau de signes.

Exemple : signe de $(x-2)(x+3)$(x - 2)(x + 3)

Conclusion : $(x-2)(x+3)>0$(x - 2)(x + 3) > 0 pour $x<-3$x < -3 ou $x>2$x > 2 ; négatif pour $-3<x<2$-3 < x < 2.

Résolution d'inéquations-produits

$$(x-2)(x+3)\le 0⟺-3\le x\le 2$$(x - 2)(x + 3) ≤ 0 ⇔ -3 ≤ x ≤ 2

$$(x-2)(x+3)>0⟺x<-3\text{ ou }x>2$$(x - 2)(x + 3) > 0 ⇔ x < -3 ou x > 2

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier d'inverser le sens de l'inégalité lors d'une multiplication/division par un négatif.
• Mauvaise identification des $a$a et $b$b dans les identités remarquables.
• Oublier les valeurs interdites dans les équations-quotients.
• Confondre équation et inéquation : équation = une (ou quelques) valeurs ; inéquation = un intervalle.

FAQ — Calcul littéral et équations en seconde

Pourquoi factoriser ?

Pour résoudre des équations (produit nul), pour simplifier des fractions algébriques, pour étudier le signe d'une expression.

Comment savoir si une expression peut se factoriser ?

On cherche : un facteur commun, une identité remarquable, ou un regroupement astucieux.

Pourquoi étudier le signe ?

Pour résoudre des inéquations, pour étudier les variations des fonctions, pour prouver des inégalités.

Comment vérifier une solution d'équation ?

On remplace dans l'équation initiale et on vérifie l'égalité. Pour les équations-quotients, on vérifie aussi que la solution n'est pas interdite.