Comment une intelligence artificielle transforme-t-elle un score en probabilité ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un filtre anti-spam ne dit pas seulement « spam » ou « pas spam » : il donne une probabilité, par exemple 97 %. En NSI, j'ai découvert qu'un modèle calcule d'abord un score, qui peut valoir n'importe quel nombre, puis le transforme en probabilité grâce à une fonction construite avec l'exponentielle. J'ai voulu étudier cette fonction comme une fonction de terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une fonction construite à partir de l'exponentielle : limites, variations, symétrie, dérivée, et interpréter ces propriétés en apprentissage.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un modèle de classification calcule un score $s$s, somme pondérée des caractéristiques d'un message. Plus il est grand, plus le message ressemble à un spam. Problématique : comment transformer ce score, réel quelconque, en probabilité entre 0 et 1 ?

2. 2. Mathématiques : étude de la sigmoïde

   4,5 min

   On pose $\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$σ(x)=1/(1+e^(-x)). Comme $e^{-x}>0$e^(-x)>0, $0<\sigma (x)<1$0<σ(x)<1.

   Limites : quand $x\to +\infty$x→+∞, $e^{-x}\to 0$e^(-x)→0 et $\sigma (x)\to 1$σ(x)→1 ; quand $x\to -\infty$x→-∞, $e^{-x}\to +\infty$e^(-x)→+∞ et $\sigma (x)\to 0$σ(x)→0. Deux asymptotes horizontales.

   Dérivée : ${\sigma }^{\prime }(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}>0$σ'(x)=(e^(-x))/((1+e^(-x))²)>0 : $\sigma$σ est strictement croissante. On vérifie que ${\sigma }^{\prime }(x)=\sigma (x)(1-\sigma (x))$σ'(x)=σ(x)(1-σ(x)), car $1-\sigma (x)=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$1-σ(x)=(e^(-x))/(1+e^(-x)). La pente est maximale en 0, où elle vaut $\frac{1}{4}$1/4.

   Symétrie : $\sigma (-x)=\frac{1}{1+e^x}=\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}=1-\sigma (x)$σ(-x)=1/(1+e^(x))=(e^(-x))/(e^(-x)+1)=1-σ(x). La courbe est symétrique par rapport au point $(0;0,5)$(0;0,5).

   Valeurs : $\sigma (0)=0,5$σ(0)=0,5, $\sigma (1)\approx 0,73$σ(1)≈0,73, $\sigma (2)\approx 0,88$σ(2)≈0,88, $\sigma (4)\approx 0,98$σ(4)≈0,98, $\sigma (-2)\approx 0,12$σ(-2)≈0,12.

3. 3. NSI : la régression logistique

   2,5 min

   Le modèle calcule $s=w_1{x}_1+\cdots +w_k{x}_k+b$s=w₁x₁+…+wₖxₖ+b puis $p=\sigma (s)$p=σ(s), interprété comme la probabilité d'être un spam. On classe « spam » si $p\ge 0,5$p≥0,5, c'est-à-dire si $s\ge 0$s≥0.

   La formule ${\sigma }^{\prime }=\sigma (1-\sigma )$σ'=σ(1-σ) rend la descente de gradient très simple : la dérivée se calcule à partir de la valeur déjà obtenue. Inversement, $s=\ln \frac{p}{1-p}$s=lnp/(1-p) : le score est le logarithme du rapport des chances. Un score qui augmente de 1 multiplie ce rapport par $e\approx 2,7$e≈2,7.

   Exemple concret : un message reçoit le score $s=2$s=2, parce qu'il contient plusieurs mots typiques des spams et un lien suspect. Le filtre annonce $\sigma (2)\approx 0,88$σ(2)≈0,88, soit 88 % de chances d'être un spam, et le range dans les indésirables. Un autre message, de score $-2$-2, n'a que 12 % de chances : il reste dans la boîte de réception. Entre les deux, plus le score est proche de 0, plus le modèle hésite, et c'est précisément là que la pente de la sigmoïde est la plus forte : une petite variation du score y change beaucoup la probabilité.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La sigmoïde transforme un score réel en probabilité : elle est croissante, comprise entre 0 et 1, symétrique autour de $(0;0,5)$(0;0,5), et sa dérivée $\sigma (1-\sigma )$σ(1-σ) facilite l'apprentissage. Une fonction d'exponentielle de terminale est au cœur des classifieurs. J'ouvre sur la fonction « softmax », qui généralise la sigmoïde à plusieurs classes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier le signe moins dans e^(−x).
• Confondre score et probabilité.
• Croire que σ atteint 0 ou 1.

Revoir les notions

• Fonction exponentielle (Terminale spé maths) →
• Limites de fonctions (Terminale spé maths) →

Autres questions : données et intelligence artificielle

• Comment une machine peut-elle classer une donnée nouvelle en regardant simplement ses voisines ?
• Pourquoi le résultat d'un algorithme d'intelligence artificielle peut-il changer si l'on mesure en millimètres plutôt qu'en centimètres ?
• Comment une machine trouve-t-elle la droite qui résume le mieux un nuage de points ?
• Comment une intelligence artificielle apprend-elle en corrigeant ses erreurs pas à pas ?

Toutes les questions maths-nsi →