Question transversaleMathsNSIReprésenter l'information

Pourquoi mon disque de 1 To n'affiche-t-il que 931 Go ?

Q: Pourquoi l'écart n'est-il pas 4 × 2,4 % ?

Les évolutions successives se multiplient : $0,9765625⁴≈0,909$, soit −9,1 %, un peu moins que −9,6 %.

Q: Combien de cases adresse-t-on avec 32 bits d'adresse ?

$2³²$, soit 4 Gio quand chaque case est un octet : la limite des anciens systèmes 32 bits.

Q: Quelle est la suite des rapports, et quelle est sa limite ?

$0,9765625^(k)$, suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1 : elle tend vers 0.

Le fabricant compte 1 To = 10¹² octets, le système divise par 2⁴⁰ : 10¹² / 2⁴⁰ ≈ 0,909, soit 931 « Gio ». L'écart entre 1 000 et 1 024 se cumule à chaque préfixe : 2,4 % pour le kilo, 9,1 % pour le téra.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En achetant un disque dur de 1 téraoctet, j'ai constaté que mon ordinateur n'en annonçait que 931 gigaoctets. Je pensais à une arnaque ou à de l'espace réservé. En réalité, deux unités différentes portent presque le même nom. Ce calcul m'a montré qu'un petit écart relatif, répété, devient grand.

L'enjeu et les notions du programme

Comparer les puissances de 10 et de 2, et montrer comment un écart relatif se cumule par produit.

Mathématiques

Puissances, ordres de grandeur (seconde)
Évolutions successives, coefficients multiplicateurs (première)
Suites géométriques (première)

Numérique et sciences informatiques

Unités de mémoire : octet, kilo-octet, kibioctet (première)
Architecture : mémoire et stockage (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Le préfixe « kilo » signifie 1 000 dans le système international, mais les mémoires sont organisées par puissances de 2, et $2^{10} = 1024$ 2¹⁰=1024 est très proche de 1 000. Problématique : quel écart cette confusion produit-elle ?
2. Mathématiques : un écart qui se multiplie
4 min
Il existe deux familles d'unités. Décimales : 1 ko = $1 0^{3}$ 10³ octets, 1 Mo = $1 0^{6}$ 10⁶, 1 Go = $1 0^{9}$ 10⁹, 1 To = $1 0^{12}$ 10¹². Binaires : 1 Kio = $2^{10}$ 2¹⁰, 1 Mio = $2^{20}$ 2²⁰, 1 Gio = $2^{30}$ 2³⁰, 1 Tio = $2^{40}$ 2⁴⁰.
Le rapport entre les deux à l'étage $k$ k vaut $(\frac{1000}{1024})^{k}$ (1000/1024)^(k) : c'est une suite géométrique de raison $0, 9765625$ 0,9765625. Pour le kilo : 0,977 (écart de 2,4 %). Mega : 0,954. Giga : 0,931. Téra : $\frac{1 0 ^{12}}{2 ^{40}} \approx 0, 909$ 10¹²/2⁴⁰≈0,909, soit un écart de 9,1 %.
Le disque contient donc $1 0^{12}$ 10¹² octets, soit environ $931$ 931 Gio ou $0, 91$ 0,91 Tio. Le système d'exploitation affiche « 931 Go » en utilisant l'unité binaire sous le nom décimal. Rien ne manque : on a seulement changé d'unité.
3. NSI : pourquoi les puissances de 2
3 min
Une mémoire est adressée par des nombres binaires : avec $n$ n fils d'adresse, on désigne $2^{n}$ 2ⁿ cases. Les barrettes de mémoire vive ont donc des tailles en puissances de 2 (8 Gio, 16 Gio). Les disques, eux, sont vendus en unités décimales.
La norme internationale a créé les préfixes kibi, mébi, gibi, tébi en 1998 pour lever l'ambiguïté. Certains systèmes (Linux, macOS récents) affichent désormais en unités décimales, d'autres non. En programmation, il faut toujours préciser l'unité, par exemple quand on calcule le temps de téléchargement d'un fichier.
4. Conclusion
1,5 min
Les 69 « Go » manquants viennent de l'écart entre $1000$ 1000 et $1024$ 1024, qui se multiplie à chaque préfixe : $0, 976562 5^{4} \approx 0, 909$ 0,9765625⁴≈0,909. Une différence de 2,4 % devient 9,1 % au quatrième étage. J'ouvre sur les débits réseau, exprimés en bits par seconde, autre source de confusion d'un facteur 8.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

\frac{1 0 ^{3 k}}{2 ^{10 k}} = (\frac{1000}{1024})^{k} k = 4 : \frac{1 0 ^{12}}{2 ^{40}} \approx 0, 909 10^(3k)/2^(10k)=(1000/1024)^(k) k=4: 10¹²/2⁴⁰\approx0,909 1 To = 1 0^{12} octets \approx 931 Gio 1 To =10¹² octets \approx931 Gio

Conclusion : la réponse à la question

Mon disque n'a rien perdu : 1 To décimal vaut environ 931 gibioctets. Le calcul illustre un fait général : de petits écarts relatifs se cumulent par produit, comme des évolutions successives.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi l'écart n'est-il pas 4 × 2,4 % ?

Les évolutions successives se multiplient : $0, 976562 5^{4} \approx 0, 909$ 0,9765625⁴≈0,909, soit −9,1 %, un peu moins que −9,6 %.

Combien de Mio dans 1 Gio ?

$2^{30} / 2^{20} = 2^{10} = 1024$ 2³⁰/2²⁰=2¹⁰=1024.

Une connexion à 100 Mbit/s télécharge combien de Mo par seconde ?

12,5 Mo/s au maximum, car 1 octet = 8 bits.

Combien de cases adresse-t-on avec 32 bits d'adresse ?

$2^{32}$ 2³², soit 4 Gio quand chaque case est un octet : la limite des anciens systèmes 32 bits.

Quelle est la suite des rapports, et quelle est sa limite ?

$0, 976562 5^{k}$ 0,9765625^(k), suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1 : elle tend vers 0.

Les pièges qui coûtent des points

Additionner les écarts au lieu de les multiplier.
Confondre bit (b) et octet (o ou B).
Croire que de l'espace est « volé » par le système.

Revoir les notions

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