Question transversaleMathsSESIndices et évolutions

Après une chute de 50 % en Bourse, pourquoi faut-il une hausse de 100 % pour revenir au point de départ ?

Q: Démontrez que g est convexe.

$g(t)=(1+t)⁻¹-1$, $g''(t)=2(1+t)⁻³>0$ sur $]-1;+∞[$.

Q: Pourquoi g(t) ≈ −t pour t petit ?

$g(0)=0$ et $g'(0)=-1$ : c'est l'approximation affine en 0.

Le taux réciproque d'une évolution t est 1/(1 + t) − 1 : −20 % se rattrape par +25 %, −50 % par +100 %. La fonction t ↦ 1/(1 + t) − 1 est convexe et explose quand la baisse approche 100 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En lisant l'histoire des krachs boursiers, j'ai appris qu'après la crise de 1929 l'indice Dow Jones avait perdu près de 90 % et mis 25 ans à revenir à son niveau. Je trouvais étonnant qu'il faille si longtemps. En calculant le taux de hausse nécessaire pour compenser une baisse, j'ai découvert une fonction dont la courbe explique cette asymétrie.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier la fonction donnant le taux réciproque d'une évolution, et en tirer des conséquences économiques et financières.

Mathématiques

Évolutions réciproques, coefficients multiplicateurs (seconde, première)
Fonction $t \mapsto \frac{1}{1 + t} - 1$ t↦1/(1+t)-1 : variations, convexité, limite (première, terminale)
Logarithme pour les durées de rattrapage (terminale)

Sciences économiques et sociales

Crises financières, bulles et krachs (terminale)
Récessions et reprises, évolution du PIB (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une action perd 50 % de sa valeur. Beaucoup pensent qu'une hausse de 50 % suffira à la ramener à son prix initial. Problématique : quelle hausse faut-il réellement, et pourquoi ?
2. Mathématiques : le taux réciproque
4 min
Une baisse de taux $t$ t (négatif) correspond au coefficient $1 + t$ 1+t. Pour revenir au départ, il faut le coefficient $\frac{1}{1 + t}$ 1/(1+t), donc une hausse de $t^{'} = \frac{1}{1 + t} - 1 = \frac{- t}{1 + t}$ t'=1/(1+t)-1=(-t)/(1+t).
Exemples : $t = - 20$ t=-20 % donne $t^{'} = 25$ t'=25 % ; $t = - 40$ t=-40 % donne $t^{'} \approx 66, 7$ t'≈66,7 % ; $t = - 50$ t=-50 % donne $t^{'} = 100$ t'=100 % ; $t = - 90$ t=-90 % donne $t^{'} = 900$ t'=900 %.
La fonction $g (t) = \frac{1}{1 + t} - 1$ g(t)=1/(1+t)-1 est décroissante et convexe sur $] - 1; + \infty [$ ]-1;+∞[, avec $g (t) \to + \infty$ g(t)→+∞ quand $t \to - 1$ t→-1 : plus la baisse est forte, plus la hausse nécessaire croît vite. Pour de petits taux, $g (t) \approx - t$ g(t)≈-t (approximation affine) : une baisse de 2 % se rattrape par environ 2 %. L'asymétrie n'est visible que pour les grandes variations.
3. SES : krachs et récessions
3 min
Après le krach de 1929, l'indice Dow Jones a perdu environ 89 % entre 1929 et 1932 : il fallait multiplier sa valeur par environ 9 pour revenir au sommet, ce qui n'a eu lieu qu'en 1954. Même avec une croissance boursière de 10 % par an, rattraper un facteur 9 demande $\frac{l n 9}{l n 1 , 1} \approx 23$ ln9/ln1,1≈23 ans.
Pour le PIB, une récession de 8 % (comme en France en 2020) exige 8,7 % de croissance pour revenir au niveau initial. Cette asymétrie explique pourquoi les crises laissent des traces durables, et pourquoi les politiques économiques cherchent à limiter l'ampleur des chutes.
4. Conclusion
2 min
Après une chute de 50 %, il faut doubler pour revenir au départ, parce que les évolutions se composent par multiplication : le taux réciproque $\frac{- t}{1 + t}$ (-t)/(1+t) croît de plus en plus vite quand la baisse s'accentue. J'ouvre sur la diversification des placements, qui limite les grandes pertes dont on se relève si difficilement.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

(1 + t) (1 + t^{'}) = 1 ⟺ t^{'} = \frac{1}{1 + t} - 1 = \frac{- t}{1 + t} (1+t)(1+t')=1\Leftrightarrow t'=1/(1+t)-1=(-t)/(1+t) - 20 % \to + 25 % - 50 % \to + 100 % - 90 % \to + 900 % -20 %\to+25 % -50 %\to+100 % -90 %\to+900 % \frac{ln 9}{ln 1 , 1} \approx 23 ans ln9/ln1,1\approx23 ans

Conclusion : la réponse à la question

Une baisse et une hausse de même pourcentage ne se compensent pas : rattraper une baisse $t$ t exige une hausse $\frac{- t}{1 + t}$ (-t)/(1+t), d'autant plus forte que la baisse est grande. C'est pourquoi les krachs boursiers et les fortes récessions mettent longtemps à être effacés.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Une hausse de 25 % suivie d'une baisse de 20 % ramène-t-elle au départ ?

Oui : $1, 25 \times 0, 8 = 1$ 1,25×0,8=1.

Démontrez que g est convexe.

$g (t) = (1 + t)^{- 1} - 1$ g(t)=(1+t)⁻¹-1, $g^{''} (t) = 2 (1 + t)^{- 3} > 0$ g''(t)=2(1+t)⁻³>0 sur $] - 1; + \infty [$ ]-1;+∞[.

Pourquoi g(t) ≈ −t pour t petit ?

$g (0) = 0$ g(0)=0 et $g^{'} (0) = - 1$ g'(0)=-1 : c'est l'approximation affine en 0.

Qu'est-ce qu'une bulle spéculative ?

Une hausse des prix d'un actif bien au-delà de sa valeur fondamentale, alimentée par l'anticipation de nouvelles hausses ; son éclatement provoque un krach.

Quelle hausse après une baisse de 75 % ?

300 % : il faut multiplier par 4.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'une hausse de 50 % compense une baisse de 50 %.
Additionner les pourcentages d'évolutions successives.
Oublier que la fonction n'est définie que pour t > −1.

Revoir les notions

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