Question transversaleMathsSESChômage, démographie et statistiques

Que signifie vraiment une espérance de vie de 80 ans ?

Q: Démontrez E(T) = 1/q pour la loi géométrique.

$E(T)=Σ_n≥1P(T≥ n)=Σ_n≥0(1-q)ⁿ=1/q$.

L'espérance de vie est l'espérance de la durée de vie, calculée avec les taux de mortalité d'une année. Dans un modèle simplifié où la probabilité de mourir chaque année vaut q = 1,25 %, la durée de vie suit une loi géométrique d'espérance 1/q = 80 ans ; en réalité, la mortalité dépend fortement de l'âge.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

On entend que l'espérance de vie en France est d'environ 80 ans pour les hommes et 85 ans pour les femmes, et qu'elle a baissé pendant la pandémie. Je me demandais si cela signifiait que chacun vivra jusqu'à cet âge, et comment on peut la calculer pour des personnes nées cette année. En mathématiques, c'est une espérance ; en SES, un indicateur aux limites importantes.

L'enjeu et les notions du programme

Interpréter l'espérance de vie comme l'espérance d'une variable aléatoire, la calculer dans un modèle simple et discuter le sens d'un indicateur « du moment ».

Mathématiques

Espérance d'une variable aléatoire (première)
Loi géométrique, durée d'attente (terminale)
Suites géométriques, survie (première)

Sciences économiques et sociales

Démographie : mortalité, espérance de vie (seconde, terminale)
Inégalités sociales devant la mort (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
L'INSEE publie chaque année une espérance de vie à la naissance. Problématique : que mesure ce nombre, et comment est-il calculé ?
2. Mathématiques : un modèle géométrique
4 min
Modèle simplifié : chaque année, une personne vivante meurt avec une probabilité constante $q$ q. La probabilité de survivre $n$ n années vaut $(1 - q)^{n}$ (1-q)ⁿ, suite géométrique. La durée de vie $T$ T suit une loi géométrique : $P (T = n) = (1 - q)^{n - 1} q$ P(T=n)=(1-q)ⁿ⁻¹q, et son espérance vaut $\frac{1}{q}$ 1/q.
Avec $q = 0, 0125$ q=0,0125 : $E (T) = 80$ E(T)=80 ans. Mais la probabilité de dépasser 80 ans vaut $0, 987 5^{80} \approx 37$ 0,9875⁸⁰≈37 %, et celle de mourir avant 20 ans environ 22 % : ce modèle décrit mal la réalité.
En réalité, $q$ q dépend fortement de l'âge : très faible pendant l'enfance et la jeunesse (moins de 0,1 % par an), il augmente ensuite rapidement (doublement environ tous les 8 à 10 ans à l'âge adulte). On calcule l'espérance de vie en appliquant les taux de mortalité de chaque âge observés une année donnée, puis en sommant les probabilités de survie : $E (T) = \sum_{n \geq 1} P (T \geq n)$ E(T)=Σ_n≥1P(T≥ n).
3. SES : un indicateur du moment
3 min
L'espérance de vie « du moment » n'est pas une prévision pour un nouveau-né : elle suppose que les taux de mortalité de l'année resteront les mêmes toute sa vie. Si la mortalité continue de baisser, il vivra en moyenne plus longtemps. Une épidémie fait baisser l'indicateur d'une année sans réduire forcément la durée de vie des générations.
L'espérance de vie révèle aussi des inégalités étudiées en SES : en France, les hommes cadres vivent en moyenne environ six ans de plus que les hommes ouvriers, et les 5 % les plus aisés environ treize ans de plus que les 5 % les plus modestes (ordres de grandeur de l'INSEE).
4. Conclusion
2 min
Une espérance de vie de 80 ans est une moyenne de durées de vie calculée avec les taux de mortalité d'une année ; elle ne dit ni que chacun vivra jusqu'à cet âge, ni ce que vivront réellement les nouveau-nés. Le modèle géométrique montre la notion, la table de mortalité la calcule. J'ouvre sur les inégalités sociales d'espérance de vie.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P (T > n) = (1 - q)^{n}, P (T = n) = (1 - q)^{n - 1} q, E (T) = \frac{1}{q} P(T>n)=(1-q)ⁿ, P(T=n)=(1-q)ⁿ⁻¹q, E(T)=1/q q = 0, 0125 : E (T) = 80 ans, P (T > 80) = 0, 987 5^{80} \approx 0, 37 q=0,0125: E(T)=80 ans , P(T>80)=0,9875⁸⁰\approx0,37 E (T) = n \geq 1 \sum P (T \geq n) E(T)=Σ_n\geq1P(T\geq n)

Conclusion : la réponse à la question

L'espérance de vie est l'espérance d'une durée de vie, calculée à partir des taux de mortalité par âge d'une année donnée. Elle résume une distribution très dispersée et ne constitue pas une prévision. Ses écarts entre groupes sociaux mesurent des inégalités majeures.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le modèle à mortalité constante est-il irréaliste ?

Il fait mourir autant de jeunes que de personnes âgées en proportion ; or la mortalité augmente fortement avec l'âge.

Que signifie la baisse de l'espérance de vie en 2020 ?

Une hausse de la mortalité cette année-là ; elle ne prévoit pas une durée de vie plus courte pour les générations.

Pourquoi l'espérance de vie à 60 ans n'est-elle pas « 80 − 60 » ?

Ceux qui ont atteint 60 ans ont échappé à la mortalité antérieure : leur espérance de vie restante est supérieure à 20 ans (environ 23 à 27 ans en France).

Démontrez E(T) = 1/q pour la loi géométrique.

$E (T) = \sum_{n \geq 1} P (T \geq n) = \sum_{n \geq 0} (1 - q)^{n} = \frac{1}{q}$ E(T)=Σ_n≥1P(T≥ n)=Σ_n≥0(1-q)ⁿ=1/q.

Quelles inégalités sociales devant la mort connaissez-vous ?

Entre catégories sociales, niveaux de revenu et territoires, liées aux conditions de travail, au mode de vie et à l'accès aux soins.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que l'espérance de vie est l'âge auquel chacun meurt.
Interpréter l'espérance de vie du moment comme une prévision.
Oublier que la mortalité dépend de l'âge.

Revoir les notions

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