Question transversaleMathsSESMobilité sociale

Combien de générations faut-il pour que l'origine sociale ne compte plus ?

Q: Que devient la limite si la probabilité d'accès passe de 0,2 à 0,3 ?

$fₙ₊₁=0,3fₙ+0,3$, limite $0,3/0,7≈0,43$.

Q: Combien de générations pour que l'écart passe sous 1 % ?

$0,4ⁿ ln0,01/ln0,4≈5,03$, soit 6 générations.

Avec deux groupes et des probabilités de passage fixes (0,6 de rester favorisé, 0,2 d'y accéder), la proportion de favorisés suit fₙ₊₁ = 0,4fₙ + 0,2 et converge vers 1/3 quelle que soit l'origine : l'écart entre descendants des deux milieux est multiplié par 0,4 à chaque génération.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

On parle souvent de « reproduction sociale » d'une génération à l'autre. Je me suis demandé si l'avantage d'une famille finit par s'effacer au fil des générations, et à quelle vitesse. En modélisant la mobilité par des probabilités de passage constantes, j'ai obtenu une suite arithmético-géométrique : l'origine compte de moins en moins, mais plus longtemps qu'on ne croit.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une évolution sur plusieurs générations par un arbre de probabilités puis une suite arithmético-géométrique, et étudier sa limite.

Mathématiques

Arbres de probabilités, formule des probabilités totales (première)
Suites arithmético-géométriques, limite (terminale)
Chaînes de Markov (ouverture, maths expertes)

Sciences économiques et sociales

Mobilité intergénérationnelle, reproduction sociale (terminale)
Transmission du capital économique et culturel (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On simplifie la société en deux groupes : « favorisé » et « populaire ». Un enfant de milieu favorisé y reste avec la probabilité 0,6 ; un enfant de milieu populaire y accède avec la probabilité 0,2. Problématique : que deviennent les descendants au fil des générations ?
2. Mathématiques : une suite récurrente
4 min
Notons $f_{n}$ fₙ la probabilité qu'un descendant de rang $n$ n soit favorisé. Par la formule des probabilités totales : $f_{n + 1} = 0, 6 f_{n} + 0, 2 (1 - f_{n}) = 0, 4 f_{n} + 0, 2$ fₙ₊₁=0,6fₙ+0,2(1-fₙ)=0,4fₙ+0,2.
Point fixe : $ℓ = 0, 4 ℓ + 0, 2$ ℓ=0,4ℓ+0,2, soit $ℓ = \frac{1}{3}$ ℓ=1/3. L'écart vérifie $f_{n} - \frac{1}{3} = 0, 4^{n} (f_{0} - \frac{1}{3})$ fₙ-1/3=0,4ⁿ(f₀-1/3) : il tend vers 0.
Descendants d'une famille favorisée ( $f_{0} = 1$ f₀=1) : 0,6 ; 0,44 ; 0,376… Descendants d'une famille populaire ( $f_{0} = 0$ f₀=0) : 0,2 ; 0,28 ; 0,312… L'écart entre les deux lignées vaut $0, 4^{n}$ 0,4ⁿ : 0,4 pour les enfants, 0,16 pour les petits-enfants, 0,064 à la troisième génération. L'avantage s'efface, mais pas en une génération.
3. SES : un modèle et ses limites
3 min
Ce modèle (une chaîne de Markov) suppose que seule la position des parents compte. Les études historiques sur plusieurs générations, par exemple à partir des noms de famille rares, montrent une persistance plus forte que prévu : les grands-parents et le patrimoine accumulé jouent aussi un rôle.
La limite $\frac{1}{3}$ 1/3 est la proportion de favorisés à long terme si les probabilités ne changent pas ; elle ne dépend pas de l'origine. En SES, on discute les mécanismes de la reproduction (capital culturel, réseaux, héritage) et les politiques qui modifient les probabilités de passage (école, bourses).
4. Conclusion
2 min
Dans ce modèle, l'origine sociale s'efface de génération en génération : l'écart entre lignées est multiplié par 0,4 à chaque fois, et la probabilité d'être favorisé converge vers $\frac{1}{3}$ 1/3. L'avantage persiste encore à la deuxième génération. J'ouvre sur les chaînes de Markov, étudiées en maths expertes, qui généralisent ce calcul à plusieurs groupes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

f_{n + 1} = 0, 6 f_{n} + 0, 2 (1 - f_{n}) = 0, 4 f_{n} + 0, 2 ℓ = \frac{1}{3} fₙ₊₁=0,6 fₙ+0,2 (1-fₙ)=0,4 fₙ+0,2 ℓ=1/3 f_{n} - \frac{1}{3} = 0, 4^{n} (f_{0} - \frac{1}{3}) fₙ-1/3=0,4ⁿ(f₀-1/3) f_{0} = 1 : 0, 6; 0, 44; 0, 376 f_{0} = 0 : 0, 2; 0, 28; 0, 312 f₀=1: 0,6; 0,44; 0,376 f₀=0: 0,2; 0,28; 0,312

Conclusion : la réponse à la question

La mobilité sur plusieurs générations se modélise par une suite arithmético-géométrique : la probabilité d'appartenir au groupe favorisé converge vers une limite qui ne dépend plus de l'origine, et l'écart entre lignées décroît géométriquement. Les données réelles montrent une persistance plus forte que ce modèle simple.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la limite ne dépend-elle pas de f₀ ?

L'écart à la limite est multiplié par 0,4 à chaque étape et tend vers 0, quel que soit le départ.

Que devient la limite si la probabilité d'accès passe de 0,2 à 0,3 ?

$f_{n + 1} = 0, 3 f_{n} + 0, 3$ fₙ₊₁=0,3fₙ+0,3, limite $\frac{0 , 3}{0 , 7} \approx 0, 43$ 0,3/0,7≈0,43.

Qu'est-ce que le capital culturel ?

Selon Bourdieu, l'ensemble des savoirs, diplômes et pratiques culturelles transmis par la famille, qui favorisent la réussite scolaire.

Combien de générations pour que l'écart passe sous 1 % ?

$0, 4^{n} < 0, 01 ⟺ n > \frac{l n 0 , 01}{l n 0 , 4} \approx 5, 03$ 0,4ⁿ<0,01⇔ n>ln0,01/ln0,4≈5,03, soit 6 générations.

Pourquoi le modèle sous-estime-t-il la persistance ?

Il ignore les grands-parents, le patrimoine et les réseaux, qui transmettent des avantages sur plusieurs générations.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le terme 0,2(1 − fₙ) dans la récurrence.
Croire que l'avantage disparaît dès la génération suivante.
Présenter les probabilités du modèle comme des données réelles.

Revoir les notions

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