Question transversaleMathsSESMobilité sociale

Comment mesurer l'inégalité des chances indépendamment du nombre de cadres dans la société ?

Q: Pourquoi le rapport est-il invariant si l'on double le nombre de cadres ?

Doubler une colonne multiplie $a$ et $c$ par 2 : le rapport $ad/bc$ ne change pas.

Le rapport des chances compare les cotes P/(1 − P) : un enfant de cadre a une cote de 10/4 = 2,5 d'être cadre plutôt que populaire, un enfant de milieu populaire 10/23 ≈ 0,43. Leur rapport, 5,75, mesure la fluidité sociale ; il vaudrait 1 dans une société parfaitement fluide.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En SES, les sociologues utilisent un indicateur au nom étrange, l'« odds ratio », pour comparer la fluidité sociale entre pays ou époques. Je ne comprenais pas pourquoi on ne compare pas simplement des pourcentages. J'ai découvert que les pourcentages dépendent de la taille des groupes, alors que ce rapport de rapports en est indépendant : une propriété mathématique précieuse.

L'enjeu et les notions du programme

Définir la cote d'un événement et le rapport des cotes, et montrer son invariance quand on multiplie une ligne ou une colonne du tableau.

Mathématiques

Probabilités conditionnelles, cote $\frac{p}{1 - p}$ p/(1-p) (première)
Quotients, invariance par multiplication (seconde)
Indépendance (première, terminale)

Sciences économiques et sociales

Fluidité sociale, inégalité des chances (terminale)
Comparaisons dans le temps et entre pays (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Dans la table simplifiée, parmi les enfants de cadres, 10 sont cadres et 4 de milieu populaire ; parmi les enfants de milieu populaire, 10 sont cadres et 23 de milieu populaire. Problématique : comment résumer l'avantage des premiers par un indicateur qui ne dépende pas de la taille des groupes ?
2. Mathématiques : cotes et rapport des cotes
4 min
La cote (« odds ») compare les chances d'arriver dans un groupe plutôt que dans un autre. Enfant de cadre : $\frac{10}{4} = 2, 5$ 10/4=2,5 (2,5 fois plus de chances d'être cadre que populaire). Enfant de milieu populaire : $\frac{10}{23} \approx 0, 43$ 10/23≈0,43.
Le rapport des chances vaut $\frac{10/4}{10/23} = \frac{10 \times 23}{4 \times 10} = 5, 75$ (10/4)/(10/23)=10×23/4×10=5,75. Dans une société parfaitement fluide, l'origine n'influencerait pas la destination : les deux cotes seraient égales et le rapport vaudrait 1.
Propriété clé : si l'on multiplie une ligne (plus de pères cadres) ou une colonne (plus de postes de cadres) par un nombre $k$ k, le rapport $\frac{a d}{b c}$ ad/bc ne change pas, car $k$ k apparaît au numérateur et au dénominateur. Il mesure donc l'association entre origine et destination, indépendamment des marges.
3. SES : comparer les sociétés
3 min
Cette invariance permet de comparer la fluidité de sociétés dont la structure des emplois diffère, ou la même société à des époques différentes. Les études montrent en France une légère augmentation de la fluidité sur longue période : les rapports de chances diminuent lentement, mais restent nettement supérieurs à 1.
Un rapport de 5,75 ne signifie pas que l'enfant de cadre a 5,75 fois plus de chances de devenir cadre (c'est 2,5 fois plus, 50 % contre 20 %) : il compare des cotes, pas des probabilités. Les deux mesures sont proches seulement quand les probabilités sont faibles.
4. Conclusion
2 min
Le rapport des chances compare les cotes d'accès à une position selon l'origine ; invariant quand on change la taille des groupes, il mesure la fluidité sociale. Ici, 5,75, loin de la valeur 1 d'une société parfaitement fluide. J'ouvre sur les études internationales qui comparent ces rapports entre pays.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

cote = \frac{p}{1 - p} (ici : effectif cadres / effectif populaires) cote =p/(1-p) ( ici : effectif cadres / effectif populaires ) OR = \frac{10/4}{10/23} = \frac{10 \times 23}{4 \times 10} = 5, 75 OR =(10/4)/(10/23)=10\times23/4\times10=5,75 \frac{( k a ) d}{( k b ) c} = \frac{a d}{b c} OR = 1 ⟺ fluidit \overset{e}{ˊ} parfaite ((ka) d)/((kb) c)=ad/bc OR =1\Leftrightarrow fluidité parfaite

Conclusion : la réponse à la question

Le rapport des chances mesure l'association entre origine et destination indépendamment de la taille des groupes ; il vaut 1 en cas de fluidité parfaite. Dans la table simplifiée, il vaut 5,75 : l'origine pèse fortement sur la destinée.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le rapport est-il invariant si l'on double le nombre de cadres ?

Doubler une colonne multiplie $a$ a et $c$ c par 2 : le rapport $\frac{a d}{b c}$ ad/bc ne change pas.

Quelle est la différence entre risque relatif et rapport des cotes ?

Le risque relatif compare des probabilités (50 % / 20 % = 2,5), le rapport des cotes compare des cotes (5,75).

Que signifierait un rapport inférieur à 1 ?

Que les enfants de milieu populaire auraient de meilleures chances relatives : une mobilité inversée.

La France est-elle plus fluide qu'avant ?

Légèrement : les rapports de chances ont diminué sur longue période, mais l'inégalité des chances demeure forte.

Calculez la cote d'un événement de probabilité 0,2.

$\frac{0 , 2}{0 , 8} = 0, 25$ 0,2/0,8=0,25.

Les pièges qui coûtent des points

Lire le rapport des cotes comme un rapport de probabilités.
Comparer des pourcentages entre sociétés de structures différentes.
Oublier qu'une valeur de 1 correspond à l'indépendance.

Revoir les notions

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