Vers quelle population tend un pays où les décès dépassent les naissances ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu que l'Italie ou le Japon perdent des habitants chaque année, car les décès dépassent les naissances. Je me suis demandé si leur population allait disparaître, ou se stabiliser grâce à l'immigration. Un modèle simple, une suite arithmético-géométrique, permet de répondre, à condition d'en discuter les hypothèses.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une évolution démographique par une suite arithmético-géométrique, déterminer son point fixe et la vitesse de convergence.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un pays de 60 millions d'habitants a un solde naturel (naissances moins décès) de −0,3 % par an et accueille un solde migratoire de 150 000 personnes par an. Problématique : comment évolue sa population à long terme ?

2. 2. Mathématiques : une suite arithmético-géométrique

   4 min

   En millions : $P_{n+1}=0,997P_n+0,15$Pₙ₊₁=0,997 Pₙ+0,15. Point fixe : $\ell =0,997\ell +0,15⟺\ell =\frac{0,15}{0,003}=50$ℓ=0,997ℓ+0,15⇔ℓ=0,15/0,003=50. La suite $P_n-50$Pₙ-50 est géométrique de raison 0,997 : $P_n=50+10\times 0,997^n$Pₙ=50+10×0,997ⁿ.

   La population décroît de 60 vers 50 millions, sans jamais disparaître : le solde migratoire compense le déficit naturel quand la population est assez petite. La convergence est très lente : l'écart est divisé par 2 quand $0,997^n=0,5$0,997ⁿ=0,5, soit $n=\frac{\ln 0,5}{\ln 0,997}\approx 231$n=ln0,5/ln0,997≈231 ans.

   Sans immigration, $P_n=60\times 0,997^n$Pₙ=60×0,997ⁿ tendrait vers 0, en perdant la moitié de sa population en 231 ans. Avec un solde migratoire de 180 000, le point fixe serait 60 millions : la population resterait stable.

3. 3. SES : les limites du modèle

   3 min

   Le modèle suppose un taux de solde naturel constant, alors qu'il dépend de la structure par âge : une population vieillissante a un solde naturel de plus en plus négatif, avant éventuellement de se stabiliser. Les migrants modifient aussi la structure par âge et la fécondité.

   Les projections démographiques de l'INSEE ou de l'ONU combinent plusieurs scénarios de fécondité, de mortalité et de migrations. En SES, on discute les enjeux du vieillissement (retraites, dépendance) et le rôle des migrations, souvent débattu publiquement. Le modèle montre l'ordre de grandeur des effets.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Avec un solde naturel négatif et un solde migratoire constant, la population converge vers un point fixe, ici 50 millions, mais très lentement. Une suite arithmético-géométrique éclaire ainsi les débats démographiques, à condition d'en rappeler les hypothèses. J'ouvre sur les projections de l'INSEE pour la France à l'horizon 2070.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire qu'un solde naturel négatif mène forcément à la disparition de la population.
• Oublier que la convergence est très lente.
• Présenter les paramètres du modèle comme constants dans la réalité.

Revoir les notions

• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →
• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

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