Question transversaleMathsSIInformation et commande numérique

Combien de tâches un système embarqué peut-il exécuter à temps, et pourquoi le nombre ln 2 apparaît-il ?

Des tâches périodiques occupent le processeur une part Cᵢ/Tᵢ de leur période. Avec la règle « la plus fréquente est prioritaire », Liu et Layland ont montré que n tâches respectent toujours leurs échéances si la charge totale ne dépasse pas n(2^(1/n) − 1) : 100 % pour une tâche, 82,8 % pour deux, et une limite de ln 2 ≈ 69,3 % pour un grand nombre.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans un drone, le calculateur doit lire les capteurs, calculer la stabilisation et commander les moteurs à des rythmes différents, sans jamais être en retard. En sciences de l'ingénieur, j'ai découvert l'ordonnancement temps réel. J'ai été surpris d'y trouver une limite étonnante, ln 2, obtenue par une limite de suite que l'on peut calculer en terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une charge par une somme de fractions et étudier la limite d'une suite faisant intervenir une puissance fractionnaire.

Mathématiques

Suites, limite, monotonie (terminale)
Fonction exponentielle et logarithme : 2^(1/n) = e^(ln 2 / n) (terminale)
Nombre dérivé de l'exponentielle en 0 (première)

Sciences de l'ingénieur

Systèmes embarqués temps réel, tâches périodiques (terminale)
Charge d'un processeur, priorités (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une tâche périodique doit s'exécuter toutes les $T$ T millisecondes et dure $C$ C millisecondes. Elle occupe le processeur une fraction $\frac{C}{T}$ C/T du temps. Problématique : à partir de quelle charge risque-t-on qu'une tâche rate son échéance ?
2. Mathématiques : une suite qui tend vers ln 2
4,5 min
La charge totale est $U = \sum \frac{C _{i}}{T _{i}}$ U=sumCᵢ/Tᵢ. Exemple de drone : capteurs (1 ms toutes les 5 ms), stabilisation (2 ms toutes les 10 ms), télémétrie (5 ms toutes les 100 ms) : $U = 0, 2 + 0, 2 + 0, 05 = 0, 45$ U=0,2+0,2+0,05=0,45. Il faut évidemment $U \leq 1$ U≤1.
Avec la règle « la tâche de plus courte période est prioritaire », Liu et Layland ont démontré en 1973 (résultat admis) que $n$ n tâches respectent toujours leurs échéances si $U \leq u_{n} = n (2^{1/ n} - 1)$ U≤ uₙ=n(2^(1/n)-1).
Valeurs : $u_{1} = 1$ u₁=1, $u_{2} = 2 (2 - 1) \approx 0, 828$ u₂=2(sqrt2-1)≈0,828, $u_{3} \approx 0, 780$ u₃≈0,780, $u_{10} \approx 0, 718$ u₁₀≈0,718, $u_{100} \approx 0, 696$ u₁₀₀≈0,696. La suite décroît.
Limite : $2^{1/ n} = e^{\frac{l n 2}{n}}$ 2^(1/n)=e^(ln2/n), donc $u_{n} = ln 2 \times \frac{e ^{h} - 1}{h}$ uₙ=ln2×(e^(h)-1)/h avec $h = \frac{l n 2}{n} \to 0$ h=ln2/n→0. Or $\frac{e ^{h} - 1}{h} \to 1$ (e^(h)-1)/h→1 (nombre dérivé de l'exponentielle en 0). Donc $u_{n} \to ln 2 \approx 0, 693$ uₙ→ln2≈0,693. Avec 3 tâches et $U = 0, 45 \leq 0, 780$ U=0,45≤0,780, le drone est garanti.
3. SI : marge et vérification
2,5 min
Le critère est suffisant mais pas nécessaire : au-delà de $u_{n}$ uₙ, les tâches peuvent encore tenir, mais il faut une analyse plus fine. Les concepteurs gardent donc une charge inférieure à environ 70 % pour être sûrs, quelle que soit la combinaison de tâches.
Une autre règle, « l'échéance la plus proche d'abord », garantit le respect des échéances jusqu'à $U = 1$ U=1, au prix d'un ordonnanceur plus complexe. Dans un avion ou une voiture, un retard de calcul peut être aussi grave qu'une erreur : le respect des échéances fait partie de la sûreté.
4. Conclusion
1,5 min
La charge garantie d'un système temps réel est $n (2^{1/ n} - 1)$ n(2^(1/n)-1), une suite qui décroît de 100 % vers $ln 2 \approx 69, 3 %$ ln2≈69,3 %. Le nombre dérivé de l'exponentielle en 0 explique cette limite. J'ouvre sur l'ordonnancement par échéance, qui exploite tout le processeur.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

U = \sum \frac{C _{i}}{T _{i}} = \frac{1}{5} + \frac{2}{10} + \frac{5}{100} = 0, 45 u_{n} = n (2^{1/ n} - 1) U=sumCᵢ/Tᵢ=1/5+2/10+5/100=0,45 uₙ=n(2^(1/n)-1) u_{1} = 1, u_{2} \approx 0, 828, u_{3} \approx 0, 780, u_{100} \approx 0, 696 u_{n} = ln 2 \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h} h \to 0 ln 2 \approx 0, 693 u₁=1, u₂\approx0,828, u₃\approx0,780, u₁₀₀\approx0,696 uₙ=ln2\cdot(e^(h)-1)/h \to ln2\approx0,693

Conclusion : la réponse à la question

Un nombre aussi abstrait que ln 2 fixe une limite pratique pour les systèmes embarqués. Une limite de suite, obtenue grâce à la dérivée de l'exponentielle, garantit que des tâches critiques ne seront jamais en retard.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez u₂.

$2 (2 - 1) \approx 0, 828$ 2(sqrt2-1)≈0,828.

Pourquoi (e^h − 1)/h tend-il vers 1 ?

C'est le taux d'accroissement de l'exponentielle en 0, qui tend vers son nombre dérivé exp'(0) = 1.

Le critère est-il nécessaire ?

Non, seulement suffisant : un système plus chargé peut fonctionner, mais il faut le vérifier autrement.

Que signifie U = 0,45 ?

Le processeur est occupé 45 % du temps en moyenne.

Pourquoi garder une marge ?

Pour absorber des durées d'exécution plus longues que prévu et ajouter des tâches plus tard.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'une charge inférieure à 100 % suffit toujours.
Confondre condition suffisante et nécessaire.
Oublier que la suite décroît avec le nombre de tâches.

Revoir les notions

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