Pourquoi ne peut-on pas avoir à la fois une commande de moteur très fine et une fréquence très élevée ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En réglant la vitesse d'un moteur avec un microcontrôleur, j'ai voulu une commande plus fine et je suis passé de 8 à 12 bits. Le moteur s'est alors mis à siffler de façon désagréable. En sciences de l'ingénieur, j'ai compris qu'en augmentant la résolution, j'avais divisé la fréquence du signal. J'ai voulu chiffrer ce compromis, qui repose sur les puissances de 2.

L'enjeu et les notions du programme

Relier la résolution et la fréquence par une relation de proportionnalité inverse avec 2ⁿ et en déduire un choix de conception.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un signal MLI est produit par un compteur qui va de 0 à $2^n-1$2ⁿ-1 à chaque période, et une sortie qui reste haute tant que le compteur est sous la valeur de consigne. Problématique : comment la résolution $n$n et la fréquence du signal sont-elles liées ?

2. 2. Mathématiques : une relation en 2ⁿ

   4 min

   Le compteur avance d'un pas à chaque battement de l'horloge, à $f_h=16$f_h=16 MHz. Une période MLI dure $2^n$2ⁿ battements, donc la fréquence du signal vaut $f=\frac{f_h}{2^n}$f=f_h/2ⁿ.

   8 bits : 256 niveaux, $f=\frac{16\times 10^6}{256}=62,5$f=16×10⁶/256=62,5 kHz. 10 bits : 1 024 niveaux, 15,6 kHz. 12 bits : 4 096 niveaux, 3,9 kHz. Chaque bit supplémentaire double la résolution mais divise la fréquence par 2 : le produit $f\times 2^n$f×2ⁿ reste égal à $f_h$f_h.

   Contrainte : pour que le moteur ne siffle pas, il faut $f\ge 20$f≥20 kHz, soit $2^n\le \frac{16\times 10^6}{20\times 10^3}=800$2ⁿ≤16×10⁶/20×10³=800. Donc $n\le {\log }_{2}800\approx 9,6$n≤log₂800≈9,6 : au plus 9 bits, soit 512 niveaux, à 31,25 kHz.

   Pour gagner un bit de résolution à fréquence égale, il faudrait doubler la fréquence de l'horloge : c'est la seule façon de sortir du compromis.

3. 3. SI : choisir selon l'usage

   3 min

   Pour un moteur, 8 ou 9 bits suffisent généralement : un pas de 1/256 de la tension est bien plus fin que ce que l'inertie du moteur permet de percevoir. Pour une LED, 8 bits donnent des à-coups visibles à faible luminosité, car l'œil perçoit la lumière de façon logarithmique : on utilise 12 ou 16 bits, à une fréquence plus basse mais invisible (au-dessus de quelques centaines de hertz).

   Les microcontrôleurs récents ont des horloges plus rapides ou des modules MLI à haute résolution qui ajoutent des retards fractionnaires. Le choix des paramètres fait partie de la conception.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La fréquence d'un signal MLI vaut $\frac{f_h}{2^n}$f_h/2ⁿ : chaque bit de résolution divise la fréquence par 2. Pour rester au-dessus de 20 kHz avec 16 MHz, on ne dépasse pas 9 bits. Les puissances de 2 et le logarithme fixent le compromis. J'ouvre sur les techniques de « dithering », qui simulent une résolution plus fine en alternant deux niveaux.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que résolution et fréquence sont indépendantes.
• Arrondir le nombre de bits au supérieur alors qu'il faut l'inférieur.
• Oublier la limite de l'audition.

Revoir les notions

• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →
• Fonction carré et fonction inverse (Seconde) →

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