Question transversaleMathsSIInformation et commande numérique

Comment simplifier la logique d'une alarme pour utiliser moins de composants ?

Une alarme sonne si (porte ouverte ET armée) OU (fenêtre ouverte ET armée) OU (porte ET fenêtre ouvertes ET armée). Par distributivité et absorption, S = a·p + a·f + a·p·f se réduit à S = a·(p + f) : deux portes logiques au lieu de cinq. Une table de vérité à 8 lignes le confirme.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons conçu la logique d'une petite alarme à partir d'un cahier des charges écrit en phrases. Notre première équation était longue et demandait beaucoup de portes logiques. Le professeur nous a montré qu'on pouvait la simplifier par des règles de calcul, comme en algèbre. J'ai voulu comprendre ces règles et vérifier le résultat.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser les règles du calcul booléen, analogues au calcul littéral, pour simplifier une expression, et vérifier l'équivalence par une table de vérité.

Mathématiques

Logique : connecteurs « et », « ou », négation (seconde)
Calcul littéral : factorisation, distributivité (seconde)
Dénombrement : 2ⁿ lignes d'une table de vérité (terminale)

Sciences de l'ingénieur

Logique combinatoire, portes logiques (première)
Traduction d'un cahier des charges en équations logiques (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Le cahier des charges : l'alarme sonne si elle est armée et que la porte est ouverte, ou si elle est armée et que la fenêtre est ouverte, ou si elle est armée et que la porte et la fenêtre sont ouvertes. Problématique : peut-on écrire cette condition plus simplement ?
2. Mathématiques : algèbre de Boole
4 min
On note $a$ a (armée), $p$ p (porte ouverte), $f$ f (fenêtre ouverte), avec la convention : produit pour ET, somme pour OU. L'équation brute est $S = a p + a f + a p f$ S=a p+a f+a p f.
Règles : comme en algèbre, le ET se distribue sur le OU : $a p + a f = a (p + f)$ a p+a f=a(p+f). Règle d'absorption, propre à la logique : $x + x y = x$ x+x y=x (si $x$ x est vrai, $x + x y$ x+xy l'est aussi ; si $x$ x est faux, les deux sont faux).
D'où $S = a p + a f + a p f = a p (1 + f) + a f = a p + a f = a (p + f)$ S=a p+a f+a p f=a p(1+f)+a f=a p+a f=a(p+f), car $1 + f = 1$ 1+f=1 en logique. L'alarme sonne si elle est armée et qu'au moins une ouverture est ouverte.
Vérification : avec 3 variables, la table de vérité a $2^{3} = 8$ 2³=8 lignes. On compare les deux colonnes : elles sont identiques. Par exemple, pour $a = 1$ a=1, $p = 1$ p=1, $f = 0$ f=0 : l'expression brute donne $1 + 0 + 0 = 1$ 1+0+0=1, la simplifiée $1 \times 1 = 1$ 1×1=1.
3. SI : du schéma au programme
3 min
L'expression brute demande trois portes ET (dont une à trois entrées) et une porte OU à trois entrées ; la simplifiée, une porte OU et une porte ET. Moins de portes, c'est moins de coût, de place, de consommation et de risques de panne.
Dans un programme, la simplification rend le test plus lisible et plus rapide : « si armée et (porte ou fenêtre) ». Pour des fonctions à plus de variables, on utilise des tableaux de Karnaugh, qui organisent la table de vérité en code Gray pour repérer visuellement les regroupements possibles.
4. Conclusion
1,5 min
Les règles de l'algèbre de Boole, distributivité et absorption, réduisent $a p + a f + a p f$ a p+a f+a p f à $a (p + f)$ a(p+f) : deux portes au lieu de cinq. Une table de vérité à 8 lignes le confirme. J'ouvre sur les tableaux de Karnaugh, qui systématisent cette simplification.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

S = a p + a f + a p f = a p (1 + f) + a f = a p + a f = a (p + f) S=a p+a f+a p f=a p(1+f)+a f=a p+a f=a(p+f) absorption : x + x y = x 1 + f = 1 2^{3} = 8 lignes \overset{a}{ˋ} v \overset{e}{ˊ} rifier absorption : x+xy=x 1+f=1 2³=8 lignes à vérifier

Conclusion : la réponse à la question

Simplifier une logique, c'est faire du calcul littéral avec des règles un peu différentes. Le résultat se vérifie exhaustivement par une table de vérité, et se traduit en économies de composants.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi 1 + f = 1 en logique ?

« Vrai OU f » est toujours vrai, quelle que soit la valeur de f.

Démontrez x + x y = x.

$x + x y = x (1 + y) = x \times 1 = x$ x+xy=x(1+y)=x×1=x.

Combien de lignes pour 5 variables ?

$2^{5} = 32$ 2⁵=32.

Quelle règle de l'algèbre ordinaire n'est pas vraie en logique ?

1 + 1 = 2 : en logique, 1 + 1 = 1 (vrai OU vrai est vrai).

Qu'est-ce qu'un tableau de Karnaugh ?

Une table de vérité disposée en code Gray, où les cases adjacentes ne diffèrent que d'une variable, pour repérer les simplifications.

Les pièges qui coûtent des points

Appliquer 1 + 1 = 2 en logique.
Simplifier sans vérifier l'équivalence.
Confondre ET et OU dans la traduction du cahier des charges.

Revoir les notions

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