Question transversaleMathsSVTMédicaments et corps humain

Comment mesurer la quantité de médicament réellement « vue » par l'organisme ?

Q: Pourquoi l'intégrale sur [0 ; +∞[ est-elle finie ?

$e^(-kT)→0$ quand $T→+∞$ : la limite vaut $C₀/k$.

Q: Si la demi-vie double, que devient l'AUC ?

$k$ est divisé par 2 : l'AUC double.

L'exposition au médicament est l'aire sous la courbe de concentration, une intégrale sur [0 ; +∞[ : pour C(t) = C₀e^(−kt), elle vaut C₀/k. En comparant l'aire après un comprimé et après une injection, on obtient la biodisponibilité, fraction de la dose qui atteint le sang.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En lisant sur les médicaments génériques, j'ai appris qu'ils doivent avoir la même « aire sous la courbe » que le médicament original pour être autorisés. Je ne comprenais pas pourquoi on mesurait une aire. En mathématiques, j'ai compris qu'elle cumule la concentration au cours du temps : c'est une intégrale, qui mesure l'exposition totale de l'organisme.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une intégrale sur un intervalle infini comme limite, et l'interpréter comme une exposition cumulée permettant des comparaisons.

Mathématiques

Intégrale, aire sous une courbe (terminale)
Primitive de $e^{- k t}$ e^(-kt), limite en $+ \infty$ +∞ (terminale)
Méthode des trapèzes à partir de mesures (terminale)

Sciences de la vie et de la Terre

Absorption et élimination des médicaments (première)
Médicaments génériques, essais (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On mesure la concentration sanguine d'un médicament à différents instants après une prise. Problématique : comment résumer l'exposition totale de l'organisme par un seul nombre ?
2. Mathématiques : une intégrale jusqu'à l'infini
4 min
L'aire sous la courbe (AUC) est $\int_{0}^{+ \infty} C (t) d t$ ∫₀^(+∞)C(t) dt. Elle cumule la concentration au cours du temps : un médicament à concentration élevée pendant peu de temps peut avoir la même AUC qu'un médicament à concentration faible pendant longtemps.
Après une injection intraveineuse, $C (t) = C_{0} e^{- k t}$ C(t)=C₀e^(-kt). $\int_{0}^{T} C_{0} e^{- k t} d t = \frac{C _{0}}{k} (1 - e^{- k T})$ ∫₀^(T)C₀e^(-kt)dt=C₀/k(1-e^(-kT)), qui tend vers $\frac{C _{0}}{k}$ C₀/k quand $T \to + \infty$ T→+∞. Avec $C_{0} = 10$ C₀=10 mg/L et $k = 0, 173$ k=0,173 h⁻¹ (demi-vie de 4 h) : AUC $\approx 58$ ≈58 mg·h/L.
En pratique, on calcule l'aire à partir de mesures par la méthode des trapèzes. La biodisponibilité d'un comprimé est le rapport des aires pour une même dose : $F = \frac{AUC _{oral}}{AUC _{IV}}$ F=(AUC _ oral)/(AUC _ IV). Si un comprimé donne 41 mg·h/L, $F \approx 0, 7$ F≈0,7 : 70 % de la dose atteint la circulation.
3. SVT : génériques et bioéquivalence
3 min
Un médicament générique contient le même principe actif que l'original. Pour être autorisé, il doit être bioéquivalent : ses AUC et ses pics de concentration doivent être proches de ceux de l'original (rapport compris en général entre 80 et 125 %), mesurés chez des volontaires.
La biodisponibilité orale est souvent inférieure à 1 : une partie du médicament n'est pas absorbée, ou est détruite par le foie lors de son premier passage. C'est pourquoi certains médicaments s'injectent plutôt que de s'avaler.
4. Conclusion
2 min
L'exposition d'un organisme à un médicament se mesure par l'aire sous la courbe de concentration, une intégrale sur $[0; + \infty [$ [0;+∞[ qui vaut $\frac{C _{0}}{k}$ C₀/k après une injection. Le rapport des aires donne la biodisponibilité, et sert à autoriser les génériques. J'ouvre sur l'effet du premier passage hépatique.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

AUC = \int_{0}^{+ \infty} C_{0} e^{- k t} d t = T \to + \infty lim \frac{C _{0}}{k} (1 - e^{- k T}) = \frac{C _{0}}{k} AUC =\int₀^(+\infty)C₀e^(-kt) dt=lim_T\to+inftyC₀/k(1-e^(-kT))=C₀/k \frac{10}{0 , 173} \approx 58 mg\cdoth/L F = \frac{AUC _{oral}}{AUC _{IV}} = \frac{41}{58} \approx 0, 7 10/0,173\approx58 mg\cdoth/L F=(AUC _ oral)/(AUC _ IV)=41/58\approx0,7

Conclusion : la réponse à la question

L'aire sous la courbe de concentration mesure l'exposition totale au médicament : une intégrale, calculée exactement pour un modèle ou par trapèzes à partir de mesures. Elle permet de comparer des formes galéniques et d'évaluer la bioéquivalence des génériques.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez une primitive de C₀e^(−kt).

$- \frac{C _{0}}{k} e^{- k t}$ -C₀/ke^(-kt).

Pourquoi l'intégrale sur [0 ; +∞[ est-elle finie ?

$e^{- k T} \to 0$ e^(-kT)→0 quand $T \to + \infty$ T→+∞ : la limite vaut $\frac{C _{0}}{k}$ C₀/k.

Qu'est-ce que la bioéquivalence ?

Deux médicaments sont bioéquivalents si leurs concentrations sanguines (aires et pics) sont suffisamment proches.

Qu'est-ce que l'effet de premier passage ?

La destruction d'une partie du médicament par le foie avant qu'il n'atteigne la circulation générale.

Si la demi-vie double, que devient l'AUC ?

$k$ k est divisé par 2 : l'AUC double.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre aire sous la courbe et concentration maximale.
Oublier le passage à la limite pour l'intégrale infinie.
Comparer des aires pour des doses différentes.

Revoir les notions

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