Question transversaleMathsSVTMédicaments et corps humain

Pourquoi la concentration d'un médicament en perfusion se stabilise-t-elle, et en combien de temps ?

Q: Vérifiez que Q(t) est solution.

$Q'(t)=De^(-kt)$ et $D-kQ=D-D(1-e^(-kt))=De^(-kt)$.

Q: Que se passe-t-il quand on arrête la perfusion ?

La concentration décroît exponentiellement : $C(t)=C_ éq e^(-kt)$.

Q: Pourquoi l'insuffisance rénale demande-t-elle d'adapter la dose ?

$k$ diminue, donc $C_ éq =D/kV$ augmente : à même débit, le médicament s'accumule.

En perfusion à débit constant, la quantité de médicament vérifie Q' = débit − kQ, équation y' = ay + b : la concentration tend vers débit/(kV) avec une approche exponentielle. Il faut environ 5 demi-vies pour atteindre 97 % de l'équilibre, soit 20 heures pour une demi-vie de 4 heures.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Lors d'une hospitalisation de ma grand-mère, j'ai vu un médicament administré en perfusion continue pendant des heures. L'infirmière m'a expliqué que la concentration dans le sang monte puis se stabilise. Je voulais comprendre pourquoi elle ne monte pas indéfiniment, et pourquoi il faut attendre longtemps avant l'effet complet. C'est une équation différentielle étudiée en terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser l'équilibre entre apport constant et élimination proportionnelle par une équation y' = ay + b, et interpréter la limite et le temps caractéristique.

Mathématiques

Équations différentielles y' = ay + b (terminale)
Fonction exponentielle, limite, asymptote (terminale)
Logarithme, demi-vie (terminale)

Sciences de la vie et de la Terre

Devenir d'un médicament dans l'organisme : distribution, élimination (première)
Rein, foie, clairance (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un médicament est perfusé à débit constant $D$ D (mg/h) dans un volume de distribution $V = 40$ V=40 L. L'organisme l'élimine proportionnellement à la quantité présente, avec une demi-vie de 4 heures. Problématique : comment évolue la concentration ?
2. Mathématiques : l'équation et sa solution
4 min
La quantité $Q$ Q vérifie $Q^{'} = D - k Q$ Q'=D-kQ, avec $k = \frac{l n 2}{4} \approx 0, 173$ k=ln2/4≈0,173 h⁻¹. C'est une équation $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b : la solution constante est $\frac{D}{k}$ D/k, d'où $Q (t) = \frac{D}{k} (1 - e^{- k t})$ Q(t)=D/k(1-e^(-kt)) si l'on part de zéro.
La concentration $C = \frac{Q}{V}$ C=Q/V tend vers $C_{\overset{e}{ˊ} q} = \frac{D}{k V}$ C_ éq =D/kV : l'apport compense exactement l'élimination. Pour viser 10 mg/L, il faut $D = 10 \times 0, 173 \times 40 \approx 69$ D=10×0,173×40≈69 mg/h.
Vitesse d'approche : après $n$ n demi-vies, $1 - e^{- k t} = 1 - 2^{- n}$ 1-e^(-kt)=1-2⁻ⁿ : 50 % après une demi-vie, 75 % après deux, $1 - 2^{- 5} \approx 97$ 1-2⁻⁵≈97 % après cinq. Il faut donc environ 20 heures pour atteindre l'équilibre, quel que soit le débit : la durée ne dépend que de la demi-vie.
3. SVT : élimination et ajustement
3 min
L'élimination se fait surtout par le foie (transformation) et les reins (excrétion). Chez un patient dont les reins fonctionnent moins bien, $k$ k diminue : la demi-vie s'allonge et la concentration d'équilibre augmente, avec un risque de toxicité. On adapte alors le débit.
Le délai d'équilibre est parfois trop long en urgence : on commence alors par une dose de charge, qui amène immédiatement la concentration au niveau voulu, puis la perfusion l'entretient.
4. Conclusion
2 min
En perfusion, la concentration se stabilise parce que l'élimination, proportionnelle à la quantité présente, finit par compenser l'apport : la solution de $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b tend vers $\frac{D}{k V}$ D/kV. Il faut environ cinq demi-vies pour s'en approcher. J'ouvre sur la dose de charge, qui accélère l'atteinte de l'équilibre.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Q^{'} = D - k Q \Rightarrow Q (t) = \frac{D}{k} (1 - e^{- k t}), C_{\overset{e}{ˊ} q} = \frac{D}{k V} Q'=D-kQ \Rightarrow Q(t)=D/k(1-e^(-kt)), C_ éq =D/kV k = \frac{ln 2}{4} \approx 0, 173 h^{- 1} D = 10 \times 0, 173 \times 40 \approx 69 mg/h k=ln2/4\approx0,173 h ⁻¹ D=10\times0,173\times40\approx69 mg/h t = 5 t_{1/2} : 1 - 2^{- 5} \approx 97 % t=5 t_1/2: 1-2⁻⁵\approx97 %

Conclusion : la réponse à la question

La concentration d'un médicament en perfusion tend vers un équilibre $\frac{D}{k V}$ D/kV où apport et élimination se compensent ; elle l'atteint à environ 97 % en cinq demi-vies. Le débit fixe le niveau, la demi-vie la vitesse.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que Q(t) est solution.

$Q^{'} (t) = D e^{- k t}$ Q'(t)=De^(-kt) et $D - k Q = D - D (1 - e^{- k t}) = D e^{- k t}$ D-kQ=D-D(1-e^(-kt))=De^(-kt).

Si l'on double le débit, que se passe-t-il ?

La concentration d'équilibre double, mais le temps pour l'atteindre est le même.

Que se passe-t-il quand on arrête la perfusion ?

La concentration décroît exponentiellement : $C (t) = C_{\overset{e}{ˊ} q} e^{- k t}$ C(t)=C_ éq e^(-kt).

Qu'est-ce que le volume de distribution ?

Le volume apparent dans lequel le médicament se répartit, qui relie la quantité totale à la concentration sanguine.

Pourquoi l'insuffisance rénale demande-t-elle d'adapter la dose ?

$k$ k diminue, donc $C_{\overset{e}{ˊ} q} = \frac{D}{k V}$ C_ éq =D/kV augmente : à même débit, le médicament s'accumule.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que la concentration augmente indéfiniment.
Penser qu'un débit plus élevé fait atteindre l'équilibre plus vite.
Oublier le volume de distribution.

Revoir les notions

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