Question transversaleMathsSVTMédicaments et corps humain

Combien de temps après avoir avalé un comprimé le médicament agit-il le plus ?

Q: Pourquoi le pic ne dépend-il pas de la dose ?

$A$ est un facteur commun : il ne change pas la valeur de $t$ qui annule la dérivée.

Q: Que devient le pic si l'absorption ralentit (kₐ = 0,5) ?

$ln2,5/0,3≈3,05$ h : il arrive plus tard.

Q: Que vaut la concentration au pic dans l'exemple (en unités de A) ?

$e^(-0,2×2,01)-e^(-2,01)≈0,67-0,13≈0,53$.

Q: Que se passe-t-il si kₐ est très grand (injection) ?

$e^(-kₐt)$ devient vite négligeable : on retrouve presque $C(t)=Ae^(-kₑt)$, avec un pic immédiat.

Après un comprimé, la concentration suit C(t) = A(e^(−kₑt) − e^(−kₐt)) : absorption puis élimination. Sa dérivée s'annule pour t = ln(kₐ/kₑ)/(kₐ − kₑ) ; avec kₐ = 1 h⁻¹ et kₑ = 0,2 h⁻¹, le pic survient au bout de ln 5/0,8 ≈ 2 heures.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Sur la notice d'un antidouleur, j'ai lu que l'effet maximal survient environ deux heures après la prise. Je me suis demandé d'où venait cette durée. En SVT, on étudie le trajet d'un médicament, absorbé par l'intestin puis éliminé ; en mathématiques, cette situation donne une différence de deux exponentielles, dont on cherche le maximum avec la dérivée.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une fonction différence d'exponentielles, calculer sa dérivée et déterminer son maximum à l'aide du logarithme.

Mathématiques

Dérivée de $e^{a t}$ e^(at), étude de variations (terminale)
Équation exponentielle, logarithme (terminale)
Limites en +∞ (terminale)

Sciences de la vie et de la Terre

Absorption intestinale, passage dans le sang (première)
Élimination des médicaments (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un comprimé libère son principe actif dans l'intestin ; celui-ci passe dans le sang (absorption, constante $k_{a}$ kₐ), puis est éliminé (constante $k_{e}$ kₑ). Problématique : quand la concentration sanguine est-elle maximale ?
2. Mathématiques : une différence d'exponentielles
4 min
Le modèle de Bateman donne $C (t) = A (e^{- k_{e} t} - e^{- k_{a} t})$ C(t)=A(e^(-kₑt)-e^(-kₐt)), avec $k_{a} > k_{e}$ kₐ>kₑ. $C (0) = 0$ C(0)=0 et $C (t) \to 0$ C(t)→0 en $+ \infty$ +∞ : la concentration monte puis redescend.
$C^{'} (t) = A (- k_{e} e^{- k_{e} t} + k_{a} e^{- k_{a} t})$ C'(t)=A(-kₑe^(-kₑt)+kₐe^(-kₐt)) s'annule quand $k_{a} e^{- k_{a} t} = k_{e} e^{- k_{e} t}$ kₐe^(-kₐt)=kₑe^(-kₑt), soit $e^{(k_{a} - k_{e}) t} = \frac{k _{a}}{k _{e}}$ e^((kₐ-kₑ)t)=kₐ/kₑ et $t_{max} = \frac{l n ( k _{a} / k _{e} )}{k _{a} - k _{e}}$ t_ max =(ln(kₐ/kₑ))/(kₐ-kₑ).
Avec $k_{a} = 1$ kₐ=1 h⁻¹ (absorption rapide) et $k_{e} = 0, 2$ kₑ=0,2 h⁻¹ (demi-vie d'environ 3,5 h) : $t_{max} = \frac{l n 5}{0 , 8} \approx 2, 0$ t_ max =ln5/0,8≈2,0 heures. Le pic ne dépend pas de la dose $A$ A : une dose double donne un pic deux fois plus haut, au même moment.
3. SVT : ce qui modifie le pic
3 min
Un repas ralentit l'absorption ( $k_{a}$ kₐ plus petit) : le pic arrive plus tard et il est plus bas. Une forme effervescente ou une injection l'accélèrent. Une insuffisance rénale réduit $k_{e}$ kₑ : le pic est plus tardif et la concentration reste élevée plus longtemps.
Les formes « retard » sont conçues pour diminuer $k_{a}$ kₐ, étaler l'absorption et prolonger l'effet. Le délai d'action indiqué sur les notices est une moyenne : il varie selon les personnes.
4. Conclusion
2 min
La concentration d'un médicament pris par voie orale est maximale au temps $\frac{l n ( k _{a} / k _{e} )}{k _{a} - k _{e}}$ (ln(kₐ/kₑ))/(kₐ-kₑ), où les vitesses d'absorption et d'élimination s'équilibrent : environ deux heures dans cet exemple. L'étude de la dérivée d'une différence d'exponentielles répond à une question pratique. J'ouvre sur l'aire sous la courbe, qui mesure l'exposition totale au médicament.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

C (t) = A (e^{- k_{e} t} - e^{- k_{a} t}), C^{'} (t) = A (k_{a} e^{- k_{a} t} - k_{e} e^{- k_{e} t}) C(t)=A(e^(-kₑt)-e^(-kₐt)), C'(t)=A(kₐe^(-kₐt)-kₑe^(-kₑt)) C^{'} (t) = 0 ⟺ t_{max} = \frac{ln ( k _{a} / k _{e} )}{k _{a} - k _{e}} = \frac{ln 5}{0 , 8} \approx 2, 0 h C'(t)=0\Leftrightarrow t_ max =(ln(kₐ/kₑ))/(kₐ-kₑ)=ln5/0,8\approx2,0 h

Conclusion : la réponse à la question

Après un comprimé, la concentration sanguine passe par un maximum quand l'absorption et l'élimination s'équilibrent ; la dérivée de la différence d'exponentielles donne $t_{max} = \frac{l n ( k _{a} / k _{e} )}{k _{a} - k _{e}}$ t_ max =(ln(kₐ/kₑ))/(kₐ-kₑ), indépendant de la dose.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le pic ne dépend-il pas de la dose ?

$A$ A est un facteur commun : il ne change pas la valeur de $t$ t qui annule la dérivée.

Que devient le pic si l'absorption ralentit (kₐ = 0,5) ?

$\frac{l n 2 , 5}{0 , 3} \approx 3, 05$ ln2,5/0,3≈3,05 h : il arrive plus tard.

Pourquoi C(t) tend-il vers 0 ?

Les deux exponentielles tendent vers 0 : le médicament est entièrement éliminé.

Qu'est-ce que la biodisponibilité ?

La fraction de la dose qui atteint la circulation sanguine sous forme active.

Pourquoi un repas retarde-t-il l'effet ?

Il ralentit la vidange de l'estomac et l'absorption intestinale.

Que vaut la concentration au pic dans l'exemple (en unités de A) ?

$e^{- 0, 2 \times 2, 01} - e^{- 2, 01} \approx 0, 67 - 0, 13 \approx 0, 53$ e^(-0,2×2,01)-e^(-2,01)≈0,67-0,13≈0,53.

Que se passe-t-il si kₐ est très grand (injection) ?

$e^{- k_{a} t}$ e^(-kₐt) devient vite négligeable : on retrouve presque $C (t) = A e^{- k_{e} t}$ C(t)=Ae^(-kₑt), avec un pic immédiat.

Les pièges qui coûtent des points

Dériver e^(−kt) sans le facteur −k.
Croire qu'une dose plus forte fait agir plus vite.
Confondre constante d'absorption et d'élimination.
Oublier de vérifier le signe de la dérivée avant et après le point critique.

Revoir les notions

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