Question transversaleMathsSVTMédicaments et corps humain

Pour un antibiotique, vaut-il mieux une grosse dose ou plusieurs petites ?

Q: Démontrez log₂(2x) = 1 + log₂ x.

$log₂(2x)=log₂2+log₂x=1+log₂x$.

Q: Et si l'on multiplie la dose par 10 ?

On ajoute $t_1/2log₂10≈3,3$ demi-vies, soit environ 6,6 heures : un gain modeste pour une dose dix fois plus forte.

Pour certains antibiotiques, l'efficacité dépend du temps passé au-dessus de la concentration minimale inhibitrice : t = t½·log₂(C₀/CMI). Doubler la dose n'ajoute qu'une demi-vie de couverture (de 8 à 10 heures), alors que répartir la même quantité en deux prises couvre bien plus longtemps.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Mon médecin m'a prescrit un antibiotique trois fois par jour, alors que j'aurais préféré prendre une dose triple le matin. Il m'a expliqué que ce ne serait pas aussi efficace. Je voulais comprendre pourquoi. Pour ces antibiotiques, ce qui compte est la durée pendant laquelle la concentration reste au-dessus d'un seuil, et le logarithme montre qu'une grosse dose fait gagner très peu de temps.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre une inéquation exponentielle pour calculer une durée au-dessus d'un seuil, et comparer deux stratégies d'administration.

Mathématiques

Fonction exponentielle, inéquations (terminale)
Logarithme de base 2 : $lo g_{2} (2 x) = 1 + lo g_{2} x$ log₂(2x)=1+log₂x (terminale)

Sciences de la vie et de la Terre

Antibiotiques, bactéries, résistance (seconde, première)
Médicaments, élimination (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un antibiotique inhibe la croissance des bactéries quand sa concentration dépasse la concentration minimale inhibitrice (CMI). Après une injection, la concentration vaut $C_{0} = 16$ C₀=16 fois la CMI, et la demi-vie est de 2 heures. Problématique : combien de temps l'antibiotique agit-il, et comment l'améliorer ?
2. Mathématiques : la durée au-dessus du seuil
4 min
$C (t) = C_{0} 2^{- t / t_{1/2}} \geq CMI ⟺ 2^{t / t_{1/2}} \leq \frac{C _{0}}{CMI} ⟺ t \leq t_{1/2} lo g_{2} \frac{C _{0}}{CMI}$ C(t)=C₀ 2^(-t/t_1/2)≥ CMI ⇔2^(t/t_1/2)leqC₀/CMI⇔ t≤ t_1/2log₂C₀/CMI.
Avec $\frac{C _{0}}{CMI} = 16$ C₀/CMI=16 : $t = 2 \times lo g_{2} 16 = 8$ t=2×log₂16=8 heures. Si l'on double la dose : $2 \times lo g_{2} 32 = 10$ 2×log₂32=10 heures. Doubler la dose n'ajoute qu'une demi-vie (2 heures), car $lo g_{2} (2 x) = 1 + lo g_{2} x$ log₂(2x)=1+log₂x : le logarithme croît lentement.
Si l'on donne la même quantité totale (double) en deux prises séparées de 8 heures, on couvre 8 heures après chaque prise, soit 16 heures. La répartition est bien plus efficace qu'une dose unique plus forte, pour la même quantité totale.
3. SVT : deux familles d'antibiotiques
3 min
Pour les antibiotiques « temps-dépendants » (comme les pénicillines), l'efficacité dépend du temps passé au-dessus de la CMI : il faut des prises rapprochées ou une perfusion continue. Pour d'autres, « concentration-dépendants » (comme les aminosides), c'est le pic de concentration qui compte : une dose unique élevée est préférable.
Une concentration qui passe trop longtemps sous la CMI permet aux bactéries de reprendre leur croissance et favorise la sélection de bactéries résistantes. D'où l'importance de respecter le rythme des prises.
4. Conclusion
2 min
Pour un antibiotique temps-dépendant, mieux vaut plusieurs petites doses qu'une grosse : la durée au-dessus de la CMI vaut $t_{1/2} lo g_{2} \frac{C _{0}}{CMI}$ t_1/2log₂C₀/CMI, et doubler la dose n'ajoute qu'une demi-vie. Le logarithme explique ce rendement décroissant. J'ouvre sur la résistance aux antibiotiques, favorisée par les concentrations insuffisantes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

C_{0} 2^{- t / t_{1/2}} \geq CMI ⟺ t \leq t_{1/2} lo g_{2} \frac{C _{0}}{CMI} C₀ 2^(-t/t_1/2)\geq CMI \Leftrightarrow t\leq t_1/2log₂C₀/CMI 2 \times lo g_{2} 16 = 8 h 2 \times lo g_{2} 32 = 10 h deux prises : 8 + 8 = 16 h 2\timeslog₂16=8 h 2\timeslog₂32=10 h deux prises : 8+8=16 h

Conclusion : la réponse à la question

La durée pendant laquelle un antibiotique reste au-dessus de la CMI croît comme le logarithme de la dose : la doubler n'ajoute qu'une demi-vie. Pour les antibiotiques temps-dépendants, il vaut donc mieux répartir les doses dans la journée.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez log₂(2x) = 1 + log₂ x.

$lo g_{2} (2 x) = lo g_{2} 2 + lo g_{2} x = 1 + lo g_{2} x$ log₂(2x)=log₂2+log₂x=1+log₂x.

Combien de temps de couverture si C₀ = 4 × CMI ?

$2 \times lo g_{2} 4 = 4$ 2×log₂4=4 heures.

Qu'est-ce que la CMI ?

La plus faible concentration d'antibiotique qui empêche la croissance visible d'une bactérie.

Pourquoi certains antibiotiques préfèrent-ils une dose unique ?

Leur effet dépend du pic de concentration : une dose élevée tue plus de bactéries d'un coup.

Pourquoi les sous-dosages favorisent-ils les résistances ?

Les bactéries les moins sensibles survivent à des concentrations faibles et se multiplient.

Et si l'on multiplie la dose par 10 ?

On ajoute $t_{1/2} lo g_{2} 10 \approx 3, 3$ t_1/2log₂10≈3,3 demi-vies, soit environ 6,6 heures : un gain modeste pour une dose dix fois plus forte.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que doubler la dose double la durée d'action.
Généraliser à tous les antibiotiques.
Oublier la demi-vie dans le calcul.

Revoir les notions

Autres questions : médicaments et corps humain

Toutes les questions maths-svt →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →