Calculez (20/70)⁰,75 approximativement.

$ln20/70≈-1,25$, $×0,75≈-0,94$, $e^(-0,94)≈0,39$.

Question transversaleMathsSVTMédicaments et corps humain

Pourquoi la dose d'un médicament pour un enfant n'est-elle pas simplement proportionnelle à son poids ?

Q: Pourquoi une droite en échelle log-log ?

Le logarithme transforme $B=aM^(3/4)$ en $ln B=ln a+3/4ln M$, affine en $ln M$.

Le métabolisme varie comme la masse à la puissance 3/4 (loi de Kleiber) : un enfant de 20 kg élimine les médicaments comme (20/70)^0,75 ≈ 39 % d'un adulte de 70 kg, et non 29 %. Une dose proportionnelle au poids serait trop faible ; on utilise souvent la surface corporelle.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant la notice d'un sirop pour enfant, j'ai vu que la dose dépendait du poids, mais pas tout à fait proportionnellement. Je me suis demandé pourquoi. En SVT, j'ai découvert que les petits organismes ont un métabolisme plus rapide par kilogramme ; en mathématiques, cela se traduit par une loi de puissance, la loi de Kleiber, avec un exposant de 3/4.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser une fonction puissance d'exposant non entier pour comparer des organismes de tailles différentes, et la linéariser en échelle logarithmique.

Mathématiques

Fonctions puissances $x \mapsto x^{3/4}$ x↦ x^(3/4), concavité (terminale)
Logarithme, échelle log-log (terminale)
Racine carrée (seconde)

Sciences de la vie et de la Terre

Métabolisme, besoins énergétiques (seconde, première)
Médicaments, élimination (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un adulte de 70 kg reçoit une dose donnée d'un médicament. Problématique : quelle dose donner à un enfant de 20 kg ?
2. SVT : le métabolisme et la taille
3 min
Les petits organismes ont un métabolisme plus intense par kilogramme : une souris consomme beaucoup plus d'énergie par gramme qu'un éléphant. Max Kleiber a montré en 1932 que, chez les mammifères, le métabolisme de base varie comme la masse à la puissance $\frac{3}{4}$ 3/4 environ : $B = a M^{3/4}$ B=aM^(3/4).
L'élimination des médicaments (par le foie et les reins) suit approximativement le métabolisme : un enfant élimine plus vite, par kilogramme, qu'un adulte.
3. Mathématiques : une loi de puissance
4 min
Rapport des métabolismes : $(\frac{20}{70})^{3/4} \approx 0, 39$ (20/70)^(3/4)≈0,39, alors que le rapport des masses vaut $\frac{20}{70} \approx 0, 29$ 20/70≈0,29. Une dose proportionnelle au poids donnerait 29 % de la dose adulte, alors que l'élimination de l'enfant représente 39 % de celle de l'adulte : la concentration serait trop faible.
La fonction $M \mapsto M^{3/4}$ M↦ M^(3/4) est concave : le métabolisme croît moins vite que la masse. En échelle logarithmique, $ln B = ln a + \frac{3}{4} ln M$ ln B=ln a+3/4ln M : une droite de pente $\frac{3}{4}$ 3/4, qui relie la souris à la baleine.
En pratique, les pédiatres utilisent souvent la surface corporelle, qui varie à peu près comme $M^{2/3}$ M^(2/3) : la formule de Mosteller $S = \frac{taille (cm) \times masse (kg)}{3 600}$ S=√((taille (cm) × masse (kg))/(3 600)) donne environ 0,82 m² pour un enfant de 120 cm et 20 kg, contre 1,84 m² pour un adulte de 175 cm et 70 kg, soit un rapport d'environ 0,44.
4. Conclusion
2 min
La dose d'un enfant n'est pas proportionnelle à son poids parce que son métabolisme, et donc son élimination, varie comme la masse à la puissance $\frac{3}{4}$ 3/4 : un enfant de 20 kg élimine environ 39 % de ce qu'élimine un adulte, et non 29 %. J'ouvre sur les nouveau-nés, dont les organes immatures font exception et demandent des doses spécifiques.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

B = a M^{3/4} (\frac{20}{70})^{3/4} \approx 0, 39 contre \frac{20}{70} \approx 0, 29 B=aM^(3/4) (20/70)^(3/4)\approx0,39 contre 20/70\approx0,29 ln B = ln a + \frac{3}{4} ln M ln B=ln a+3/4ln M S = \frac{h \times m}{3 600} : \frac{120 \times 20}{3 600} \approx 0, 82 m^{2} S=\sqrt((h\times m)/(3 600)): \sqrt(120\times20/(3 600))\approx0,82 m ²

Conclusion : la réponse à la question

Le métabolisme, et avec lui l'élimination des médicaments, varie comme la masse à la puissance $\frac{3}{4}$ 3/4 : les enfants ont besoin, par kilogramme, de doses plus élevées que les adultes. Les fonctions puissances et les échelles logarithmiques décrivent ces lois d'échelle du vivant.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez (20/70)^0,75 approximativement.

$ln \frac{20}{70} \approx - 1, 25$ ln20/70≈-1,25, $\times 0, 75 \approx - 0, 94$ ×0,75≈-0,94, $e^{- 0, 94} \approx 0, 39$ e^(-0,94)≈0,39.

Pourquoi les nouveau-nés font-ils exception ?

Leur foie et leurs reins sont immatures : ils éliminent moins bien les médicaments que ne le prévoit la loi de Kleiber.

Qu'est-ce que le métabolisme de base ?

La dépense d'énergie minimale d'un organisme au repos pour maintenir ses fonctions vitales.

Pourquoi une droite en échelle log-log ?

Le logarithme transforme $B = a M^{3/4}$ B=aM^(3/4) en $ln B = ln a + \frac{3}{4} ln M$ ln B=ln a+3/4ln M, affine en $ln M$ ln M.

Pourquoi la surface corporelle est-elle utilisée ?

Elle est mieux corrélée au métabolisme et à l'élimination que le poids seul, surtout entre enfants et adultes.

Les pièges qui coûtent des points

Calculer une dose d'enfant par simple règle de trois sur le poids.
Oublier l'exception des nouveau-nés.
Présenter la loi de Kleiber comme exacte pour chaque individu.

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