Fonction racine carrée en Seconde

La fonction racine carrée en seconde : cours complet

La fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$f(x) = √(x) est une fonction de référence importante. Elle est définie uniquement pour $x\ge 0$x ≥ 0, et elle joue un rôle central en géométrie, en physique, en statistiques.

Définition

$$f:[0;+\infty [\to [0;+\infty [,x\mapsto \sqrt{x}$$f : [0 ; +∞[ → [0 ; +∞[, x ↦ √(x)

La racine carrée de $x$x est le nombre positif ou nul dont le carré vaut $x$x.

$$y=\sqrt{x}⟺y\ge 0\text{ et }{y}^2=x$$y = √(x) ⇔ y ≥ 0 et y² = x

Tableau de valeurs

Valeurs approchées utiles

$$\sqrt{2}\approx 1,414\sqrt{3}\approx 1,732\sqrt{5}\approx 2,236$$√(2) ≈ 1,414 √(3) ≈ 1,732 √(5) ≈ 2,236

Tableau de variations

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty [$[0 ; +∞[.

Représentation graphique

La courbe est une demi-parabole dont le sommet est l'origine $O$O, située dans le quadrant supérieur droit. Elle passe par les points $(0;0)$(0 ; 0), $(1;1)$(1 ; 1), $(4;2)$(4 ; 2), $(9;3)$(9 ; 3)…

Allure

La courbe monte mais de moins en moins vite : elle est concave (tournée vers le bas).

Propriétés

Positivité

$$\sqrt{x}\ge 0\text{ pour tout }x\ge 0$$√(x) ≥ 0 pour tout x ≥ 0

$$\sqrt{x}=0⟺x=0$$√(x) = 0 ⇔ x = 0

Comparaisons

$$\text{Si }0\le a<b,\text{ alors }\sqrt{a}<\sqrt{b}$$Si 0 ≤ a < b, alors √(a) < √(b)

Identité fondamentale

$$(\sqrt{x}{)}^2=x\text{pour }x\ge 0$$(√(x))² = x pour x ≥ 0

$$\sqrt{x^2}=|x|\text{pour tout }x\in \mathbb{R}$$√(x²) = |x| pour tout x ∈ ℝ

Règles de calcul

Produit et quotient

$$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}(a\ge 0,b\ge 0)$$√(a × b) = √(a) × √(b) (a ≥ 0, b ≥ 0)

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\ge 0,b>0)$$√(a/b) = √(a)/√(b) (a ≥ 0, b > 0)

Attention

$$\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}\text{en geˊneˊral}$$√(a + b) ≠ √(a) + √(b) en général

Exemple : $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$√(9 + 16) = √(25) = 5, mais $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$√(9) + √(16) = 3 + 4 = 7.

Simplifier une expression avec des racines

Décomposer

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2}$$√(72) = √(36 × 2) = 6 √(2)

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$$√(50) = √(25 × 2) = 5 √(2)

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$$√(8) = √(4 × 2) = 2 √(2)

Méthode

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.

Rationaliser un dénominateur

Pour éliminer une racine au dénominateur, on multiplie haut et bas par cette racine :

$$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1\times \sqrt{a}}{\sqrt{a}\times \sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$$1/√(a) = (1 × √(a))/(√(a) × √(a)) = √(a)/a

Exemple

$$\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$3/√(2) = (3 √(2))/2

Avec une somme au dénominateur

On utilise la quantité conjuguée :

$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}{)}^2-(\sqrt{b}{)}^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$$1/(√(a) + √(b)) = (√(a) - √(b))/((√(a))² - (√(b))²) = (√(a) - √(b))/(a - b)

Exemple

$$\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$1/(√(3) - 1) = (√(3) + 1)/(3 - 1) = (√(3) + 1)/2

Équations avec racine

Méthode

Pour résoudre $\sqrt{x}=a$√(x) = a (avec $a\ge 0$a ≥ 0) : on élève au carré : $x=a^2$x = a².

Exemple

$$\sqrt{x}=5⟺x=25$$√(x) = 5 ⇔ x = 25

Attention aux solutions parasites

Si on élève au carré, vérifier que la solution est cohérente avec l'équation initiale.

Lien avec la fonction carré

Sur $[0;+\infty [$[0 ; +∞[, les fonctions $f(x)=x^2$f(x) = x² et $g(x)=\sqrt{x}$g(x) = √(x) sont réciproques l'une de l'autre :

$$\sqrt{x^2}=x\text{(si }x\ge 0\text{)}(\sqrt{x}{)}^2=x$$√(x²) = x (si x ≥ 0 ) (√(x))² = x

Graphiquement, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$y = x.

Erreurs fréquentes à éviter

• $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$√(a + b) = √(a) + √(b) : faux !
• $\sqrt{a^2}=a$√(a²) = a : faux pour $a<0$a < 0 ; c'est $|a|$|a|.
• Oublier que $\sqrt{x}$√(x) n'existe pas pour $x<0$x < 0.
• Mauvaise rationalisation : ne pas oublier de multiplier numérateur et dénominateur.

FAQ — La fonction racine carrée

Pourquoi $\sqrt{x}$√(x) n'existe pas pour $x<0$x < 0 ?

Parce qu'il n'existe aucun nombre réel dont le carré soit négatif (les carrés sont toujours positifs).

Quelle est la racine carrée de $-9$-9 ?

En réel, elle n'existe pas. (En nombres complexes, $\sqrt{-9}=3i$√(-9) = 3i, mais c'est étudié en Maths Expertes.)

Comment savoir si $\sqrt{x}$√(x) est rationnel ?

$\sqrt{x}$√(x) est rationnel seulement si $x$x est un carré parfait ($1,4,9,16,25,\dots$1, 4, 9, 16, 25, …). Sinon, c'est irrationnel.

À quoi sert la racine carrée ?

À résoudre des équations du second degré, à calculer des distances (théorème de Pythagore), à mesurer l'écart-type en statistiques, et dans beaucoup d'autres domaines.