Question de mathsMathsSuites et récurrence

Comment savoir à partir de quand une suite dépasse un seuil ?

Q: Et si on cherche quand une suite décroissante passe sous 1 ?

Même structure avec while u >= 1. Exemple : $uₙ=100×0,9ⁿ$ passe sous 1 quand $n>ln100/(-ln0,9)≈43,7$, soit au rang 44.

Q: Avec un versement de 100 € par an en plus, quand atteint-on 2 000 € ?

$Cₙ₊₁=1,04 Cₙ+100$ : l'algorithme donne 7 ans (pas de formule immédiate sans suite auxiliaire, ce qui montre l'intérêt de l'algorithme).

Un capital de 1 000 € placé à 4 % par an dépasse 2 000 € la 18ᵉ année : on le trouve par une boucle while en Python ou par le logarithme (n > ln 2 / ln 1,04 ≈ 17,7), deux méthodes qui se contrôlent mutuellement.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans plusieurs exercices de suites, la dernière question demandait « à partir de quel rang » une suite dépasse une valeur. Je résolvais au hasard en essayant des valeurs. J'ai découvert qu'un algorithme très court trouve toujours la réponse, et que le logarithme permet de la vérifier. J'ai voulu comparer ces deux approches.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre une inéquation portant sur le rang d'une suite par un algorithme et par le calcul, et comprendre ce qui garantit que l'algorithme s'arrête.

Mathématiques

Algorithmique : boucle while, variables (première et terminale)
Suites géométriques et limite de qⁿ (première et terminale)
Logarithme népérien, résolution de $q^{n} \geq A$ qⁿ≥ A (terminale)
Suites croissantes non majorées (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une question de rang
1,5 min
Un capital de 1 000 € est placé à 4 % par an. Le capital après $n$ n années vaut $C_{n} = 1000 \times 1, 0 4^{n}$ Cₙ=1 000×1,04ⁿ. Problématique : à partir de quelle année dépasse-t-il 2 000 €, et comment le trouver sans tâtonner ?
2. L'algorithme de seuil
3,5 min
On initialise $n = 0$ n=0 et $C = 1000$ C=1 000. Tant que $C \leq 2000$ C≤2 000, on remplace $C$ C par $1, 04 C$ 1,04 C et on augmente $n$ n de 1. À la sortie de la boucle, $n$ n est le premier rang où le seuil est dépassé : $n = 18$ n=18.
Pourquoi la boucle s'arrête-t-elle ? Parce que la suite est croissante et tend vers $+ \infty$ +∞ ( $1, 04 > 1$ 1,04>1) : elle finit par dépasser tout seuil. Si la suite était majorée par une valeur inférieure au seuil, la boucle ne s'arrêterait jamais : il faut toujours s'assurer de la limite avant de programmer.
3. La vérification par le logarithme
3,5 min
On résout $1000 \times 1, 0 4^{n} > 2000 ⟺ 1, 0 4^{n} > 2 ⟺ n ln 1, 04 > ln 2 ⟺ n > \frac{l n 2}{l n 1 , 04} \approx 17, 7$ 1 000×1,04ⁿ>2 000⇔1,04ⁿ>2⇔ nln1,04>ln2⇔ n>ln2/ln1,04≈17,7. La fonction $ln$ ln étant strictement croissante, l'ordre est conservé, et $ln 1, 04 > 0$ ln1,04>0 permet de diviser sans changer le sens.
Le premier entier est 18, comme l'algorithme. Contrôle : $1, 0 4^{17} \approx 1, 948 < 2$ 1,04¹⁷≈1,948<2 et $1, 0 4^{18} \approx 2, 026 > 2$ 1,04¹⁸≈2,026>2.
L'algorithme a l'avantage de fonctionner pour toute suite, même sans formule explicite (par exemple avec des versements), là où le logarithme demande une formule.
4. Conclusion
1,5 min
On trouve le rang de dépassement d'un seuil par un algorithme, dont l'arrêt est garanti par la limite de la suite, et on le confirme par le logarithme quand la formule est explicite. Les deux méthodes se complètent : l'une est universelle, l'autre exacte. J'ouvre sur les suites décroissantes vers 0, où l'on cherche le rang à partir duquel elles passent sous un seuil.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

tant que C \leq 2000 : C \leftarrow 1, 04 C, n \leftarrow n + 1 \Rightarrow n = 18 tant que C\leq2 000 : C\leftarrow1,04 C, n\leftarrow n+1 \Rightarrow n=18 1, 0 4^{n} > 2 ⟺ n > \frac{ln 2}{ln 1 , 04} \approx 17, 7 1,04ⁿ>2\Leftrightarrow n>(ln 2)/ln1,04\approx17,7 1, 0 4^{17} \approx 1, 9481, 0 4^{18} \approx 2, 026 1,04¹⁷\approx1,948 1,04¹⁸\approx2,026

Conclusion : la réponse à la question

L'algorithme de seuil trouve le premier rang où une suite dépasse une valeur, à condition qu'elle tende vers l'infini pour que la boucle s'arrête. Le logarithme fournit la même réponse quand la suite est explicite. Le capital double la 18ᵉ année.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Écrivez le programme Python.

n = 0 ; C = 1000 ; while C <= 2000 : C = 1.04*C ; n = n + 1 ; print(n).

Et si on cherche quand une suite décroissante passe sous 1 ?

Même structure avec while u >= 1. Exemple : $u_{n} = 100 \times 0, 9^{n}$ uₙ=100×0,9ⁿ passe sous 1 quand $n > \frac{l n 100}{- l n 0 , 9} \approx 43, 7$ n>ln100/(-ln0,9)≈43,7, soit au rang 44.

Pourquoi faut-il ln 1,04 > 0 ?

Pour diviser l'inégalité sans changer son sens. Si la base est inférieure à 1, son logarithme est négatif et l'inégalité change de sens.

Quel est le risque d'une boucle while ?

Une boucle infinie si la condition reste toujours vraie, par exemple si la suite converge vers une valeur inférieure au seuil. On vérifie la limite avant de programmer.

Avec un versement de 100 € par an en plus, quand atteint-on 2 000 € ?

$C_{n + 1} = 1, 04 C_{n} + 100$ Cₙ₊₁=1,04 Cₙ+100 : l'algorithme donne 7 ans (pas de formule immédiate sans suite auxiliaire, ce qui montre l'intérêt de l'algorithme).

Les pièges qui coûtent des points

Écrire while C > 2000 : la condition est inversée.
Arrondir 17,7 à 17 au lieu de prendre l'entier supérieur.
Programmer sans vérifier que la boucle s'arrête.

Revoir les notions

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