Démontrez par récurrence que $2ⁿ≥ n+1$ pour tout $n≥0$.

Initialisation : $2⁰=1≥1$. Hérédité : si $2ⁿ≥ n+1$, alors $2ⁿ⁺¹=2×2ⁿ≥2n+2≥ n+2$.

Démontrez $1+2+…+n=(n(n+1))/2$.

Vrai pour $n=1$. Si c'est vrai pour $n$, on ajoute $n+1$ : $(n(n+1))/2+(n+1)=((n+1)(n+2))/2$.

Question de mathsMathsSuites et récurrence

Comment peut-on démontrer une propriété pour une infinité d'entiers ?

Q: À quoi sert la récurrence pour les suites ?

À démontrer qu'une suite définie par $uₙ₊₁=f(uₙ)$ est bornée ou monotone, ou à démontrer une formule explicite conjecturée à partir des premiers termes.

Le raisonnement par récurrence ramène une infinité de vérifications à deux : l'initialisation et l'hérédité. Exemple : 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n², et un contre-exemple qui montre pourquoi les deux étapes sont indispensables.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un jour, j'ai remarqué que $1 + 3 = 4$ 1+3=4, $1 + 3 + 5 = 9$ 1+3+5=9, $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ 1+3+5+7=16 : la somme des premiers impairs semblait toujours donner un carré. J'ai vérifié jusqu'à 20 à la calculatrice, mais mon professeur m'a fait remarquer que cela ne prouve rien pour le millionième terme. Le raisonnement par récurrence m'a montré comment conclure pour tous les entiers en un nombre fini de lignes.

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre la structure logique du raisonnement par récurrence, son principe (les dominos) et ce qui rend chacune de ses deux étapes indispensable.

Mathématiques

Raisonnement par récurrence : initialisation, hérédité, conclusion (terminale)
Suites définies par récurrence (première)
Somme des termes d'une suite arithmétique (première)
Logique : implication, contre-exemple (cycle terminal)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : vérifier ne suffit pas
1,5 min
Je montre l'observation sur les impairs, puis un exemple célèbre où une conjecture vérifiée sur beaucoup de cas devient fausse plus loin : le polynôme $n^{2} + n + 41$ n²+n+41 donne un nombre premier pour $n = 0, 1, \dots, 39$ n=0,1,…,39, mais pas pour $n = 40$ n=40 ( $4 0^{2} + 40 + 41 = 4 1^{2}$ 40²+40+41=41²). Problématique : comment être sûr qu'une propriété est vraie pour tous les entiers ?
2. Le principe des dominos
3 min
Pour démontrer qu'une propriété $P (n)$ P(n) est vraie pour tout $n \geq 1$ n≥1, il suffit de deux choses. Initialisation : $P (1)$ P(1) est vraie. Hérédité : pour tout $n \geq 1$ n≥1, si $P (n)$ P(n) est vraie, alors $P (n + 1)$ P(n+1) est vraie.
Image : une file infinie de dominos. Si le premier tombe et si chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, tous tombent. L'hérédité ne dit pas que $P (n)$ P(n) est vraie : elle dit qu'elle se transmet. Ce raisonnement est un axiome des entiers naturels : il traduit le fait que l'on atteint tout entier en partant de 1 et en ajoutant 1.
3. Un exemple complet et un contre-exemple
4 min
$P (n)$ P(n) : « $1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ 1+3+…+(2n-1)=n² ». Initialisation : $1 = 1^{2}$ 1=1². Hérédité : on suppose $P (n)$ P(n). Alors $1 + 3 + \dots + (2 n - 1) + (2 n + 1) = n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2}$ 1+3+…+(2n-1)+(2n+1)=n²+2n+1=(n+1)², donc $P (n + 1)$ P(n+1) est vraie. Conclusion : $P (n)$ P(n) est vraie pour tout $n \geq 1$ n≥1. Au tableau, j'illustre par des carrés emboîtés : on passe du carré de côté $n$ n au carré de côté $n + 1$ n+1 en ajoutant une équerre de $2 n + 1$ 2n+1 cases.
Contre-exemple instructif : la propriété « $n^{2} + n$ n²+n est impair » est héréditaire (si $n^{2} + n$ n²+n est impair, $(n + 1)^{2} + (n + 1) = n^{2} + n + 2 (n + 1)$ (n+1)²+(n+1)=n²+n+2(n+1) l'est aussi), mais fausse dès $n = 1$ n=1. Sans initialisation, l'hérédité ne prouve rien.
4. Conclusion
1,5 min
On démontre une propriété pour une infinité d'entiers par récurrence : une initialisation et une hérédité suffisent, et chacune est indispensable. Ce raisonnement est omniprésent pour les suites définies par récurrence. J'ouvre sur ses variantes, comme la récurrence à partir d'un rang $n_{0}$ n₀, utilisée par exemple pour montrer que $2^{n} \geq n^{2}$ 2ⁿ≥ n² dès $n = 4$ n=4.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P (n) : 1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2} P(n) : 1+3+\dots+(2n-1)=n² Initialisation : 1 = 1^{2} H \overset{e}{ˊ} r \overset{e}{ˊ} dit \overset{e}{ˊ} : n^{2} + (2 n + 1) = (n + 1)^{2} Initialisation : 1=1² Hérédité : n²+(2n+1)=(n+1)² Contre-exemple : n^{2} + n + 41 premier pour 0 \leq n \leq 39, mais 4 0^{2} + 40 + 41 = 4 1^{2} Contre-exemple : n²+n+41 premier pour 0\leq n\leq39, mais 40²+40+41=41²

Conclusion : la réponse à la question

Le raisonnement par récurrence remplace une infinité de vérifications par deux arguments : la propriété est vraie au départ et elle se transmet d'un entier au suivant. Les exemples montrent qu'aucune des deux étapes ne peut être omise et que vérifier de nombreux cas ne suffit jamais.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez par récurrence que

2^{n} \geq n + 1

2ⁿ≥ n+1 pour tout

n \geq 0

n≥0.

Initialisation : $2^{0} = 1 \geq 1$ 2⁰=1≥1. Hérédité : si $2^{n} \geq n + 1$ 2ⁿ≥ n+1, alors $2^{n + 1} = 2 \times 2^{n} \geq 2 n + 2 \geq n + 2$ 2ⁿ⁺¹=2×2ⁿ≥2n+2≥ n+2.

Qu'est-ce qui cloche dans « tous les chevaux ont la même couleur » ?

L'hérédité « si n chevaux ont la même couleur, alors n + 1 aussi » utilise deux groupes de n chevaux qui se chevauchent ; pour passer de 1 à 2, les deux groupes n'ont aucun cheval en commun, et l'argument échoue.

La récurrence est-elle une démonstration ou une vérification ?

Une démonstration : l'hérédité est prouvée pour un n quelconque, pas vérifiée cas par cas. C'est ce qui permet de conclure pour une infinité d'entiers.

Démontrez

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

1+2+…+n=(n(n+1))/2.

Vrai pour $n = 1$ n=1. Si c'est vrai pour $n$ n, on ajoute $n + 1$ n+1 : $\frac{n ( n + 1 )}{2} + (n + 1) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ (n(n+1))/2+(n+1)=((n+1)(n+2))/2.

À quoi sert la récurrence pour les suites ?

À démontrer qu'une suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ uₙ₊₁=f(uₙ) est bornée ou monotone, ou à démontrer une formule explicite conjecturée à partir des premiers termes.

Les pièges qui coûtent des points

Écrire « supposons P(n) vraie pour tout n » dans l'hérédité : c'est supposer ce qu'on veut démontrer.
Oublier l'initialisation.
Confondre vérification sur des exemples et démonstration.

Revoir les notions

Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

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