Démontrez par récurrence que $Fₙ≤2ⁿ$.

Vrai pour $n=1$ et $n=2$. Si $Fₙ≤2ⁿ$ et $Fₙ₊₁≤2ⁿ⁺¹$, alors $Fₙ₊₂≤2ⁿ+2ⁿ⁺¹≤2ⁿ⁺²$ : c'est une récurrence double.

Pourquoi $φ$ vérifie-t-il $φ²=φ+1$ ?

C'est l'équation de la limite. Elle donne aussi $frac1φ=φ-1≈0,618$ : l'inverse du nombre d'or a les mêmes décimales.

Question de mathsMathsSuites et récurrence

Pourquoi le nombre d'or apparaît-il dans la suite de Fibonacci ?

Q: Les termes de la suite des quotients sont-ils alternativement au-dessus et en dessous de φ ?

Oui : la fonction $x↦1+1/x$ est décroissante, donc si $qₙ φ$, et inversement.

Le quotient de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d'or φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618, seule limite possible car elle doit vérifier φ = 1 + 1/φ.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

On m'a présenté la suite de Fibonacci comme le modèle de la reproduction des lapins, et le nombre d'or comme un nombre « magique » présent dans les tournesols et l'architecture. J'étais sceptique. En calculant les quotients de termes consécutifs, j'ai vu apparaître 1,618, et j'ai voulu démontrer d'où il venait plutôt que de le croire.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une suite définie par une récurrence d'ordre 2, en déduire une suite de quotients et trouver sa limite par une équation du second degré.

Mathématiques

Suites définies par récurrence (première)
Équations du second degré, discriminant (première)
Limite d'une suite et passage à la limite dans une relation (terminale)
Raisonnement par récurrence (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : les lapins de Fibonacci
1,5 min
En 1202, Fibonacci modélise une population de lapins : chaque couple adulte donne un nouveau couple chaque mois, et un jeune devient adulte en un mois. Le nombre de couples suit $F_{1} = F_{2} = 1$ F₁=F₂=1, $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Problématique : pourquoi le quotient $\frac{F _{n + 1}}{F _{n}}$ Fₙ₊₁/Fₙ se rapproche-t-il de 1,618 ?
2. La suite des quotients
3,5 min
On pose $q_{n} = \frac{F _{n + 1}}{F _{n}}$ qₙ=Fₙ₊₁/Fₙ. En divisant la relation de récurrence par $F_{n + 1}$ Fₙ₊₁ : $q_{n + 1} = \frac{F _{n + 1} + F _{n}}{F _{n + 1}} = 1 + \frac{1}{q _{n}}$ qₙ₊₁=(Fₙ₊₁+Fₙ)/Fₙ₊₁=1+1/qₙ.
Les premières valeurs : 1 ; 2 ; 1,5 ; 1,667 ; 1,6 ; 1,625 ; 1,615… Elles oscillent autour d'une valeur en se resserrant : les termes de rang pair et impair encadrent la limite. On admet ici que la suite converge.
3. La limite est le nombre d'or
3,5 min
Si $q_{n} \to φ$ qₙ→φ, alors en passant à la limite dans $q_{n + 1} = 1 + \frac{1}{q _{n}}$ qₙ₊₁=1+1/qₙ : $φ = 1 + \frac{1}{φ}$ φ=1+frac1φ, soit $φ^{2} - φ - 1 = 0$ φ²-φ-1=0. Le discriminant vaut 5, et comme $φ > 0$ φ>0, $φ = \frac{1 + 5}{2} \approx 1, 618$ φ=(1+sqrt5)/2≈1,618.
C'est le nombre d'or, défini par les Grecs comme la proportion telle que le rapport du tout à la grande partie égale celui de la grande partie à la petite. La formule de Binet le confirme : $F_{n} = \frac{φ ^{n} - ψ ^{n}}{5}$ Fₙ=(φⁿ-ψⁿ)/sqrt5 avec $ψ = \frac{1 - 5}{2}$ ψ=(1-sqrt5)/2, et comme $∣ ψ ∣ < 1$ |ψ|<1, $F_{n}$ Fₙ se comporte comme $\frac{φ ^{n}}{5}$ φⁿ/sqrt5.
4. Conclusion
1,5 min
Le nombre d'or apparaît parce que la récurrence de Fibonacci impose au quotient de deux termes consécutifs de vérifier $q = 1 + \frac{1}{q}$ q=1+1/q, dont la seule solution positive est $φ$ φ. Je nuance la présence du nombre d'or dans la nature et l'art : elle est réelle pour certaines plantes (phyllotaxie) mais souvent exagérée ailleurs.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ ⇒ qₙ₊₁=1+1/qₙ, qₙ=Fₙ₊₁/Fₙφ=1+frac1φ⇔φ²-φ-1=0⇔φ=(1+sqrt5)/2≈1,618q₁=1, q₂=2, q₃=1,5, q₄≈1,667, q₅=1,6, q₆=1,625

Conclusion : la réponse à la question

Le quotient de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d'or parce que la récurrence se traduit, pour ce quotient, par l'équation $φ = 1 + \frac{1}{φ}$ φ=1+frac1φ. Les mathématiques expliquent ainsi un nombre souvent présenté comme mystérieux.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez par récurrence que

F_{n} \leq 2^{n}

Fₙ≤2ⁿ.

Vrai pour $n = 1$ n=1 et $n = 2$ n=2. Si $F_{n} \leq 2^{n}$ Fₙ≤2ⁿ et $F_{n + 1} \leq 2^{n + 1}$ Fₙ₊₁≤2ⁿ⁺¹, alors $F_{n + 2} \leq 2^{n} + 2^{n + 1} \leq 2^{n + 2}$ Fₙ₊₂≤2ⁿ+2ⁿ⁺¹≤2ⁿ⁺² : c'est une récurrence double.

Pourquoi

φ

φ vérifie-t-il

φ^{2} = φ + 1

φ²=φ+1 ?

C'est l'équation de la limite. Elle donne aussi $\frac{1}{φ} = φ - 1 \approx 0, 618$ frac1φ=φ-1≈0,618 : l'inverse du nombre d'or a les mêmes décimales.

Les termes de la suite des quotients sont-ils alternativement au-dessus et en dessous de φ ?

Oui : la fonction $x \mapsto 1 + \frac{1}{x}$ x↦1+1/x est décroissante, donc si $q_{n} < φ$ qₙ<φ, alors $q_{n + 1} > φ$ qₙ₊₁>φ, et inversement.

Combien vaut F₁₂ ?

144 : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Où trouve-t-on vraiment la suite de Fibonacci dans la nature ?

Dans la disposition des graines de tournesol ou des écailles de pomme de pin, où l'on compte souvent des spirales en nombres de Fibonacci consécutifs (21 et 34, 34 et 55). Le lien avec la croissance des lapins est en revanche un modèle très simplifié.

Les pièges qui coûtent des points

Passer à la limite sans dire qu'on admet ou démontre la convergence.
Garder la solution négative de l'équation du second degré.
Présenter le nombre d'or comme présent partout dans l'art sans recul critique.

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