Montrez que si $u₀$ est une puissance de 2, la suite atteint 1.

Si $u₀=2^(k)$, chaque étape divise par 2 : $uₖ=1$ après exactement $k$ étapes. On le démontre par récurrence sur $k$.

Question de mathsMathsSuites et récurrence

Pourquoi une suite aussi simple que celle de Syracuse résiste-t-elle aux mathématiciens ?

Diviser par 2 si le nombre est pair, multiplier par 3 et ajouter 1 s'il est impair : toutes les suites testées finissent par 1, mais personne ne sait le démontrer. Partant de 27, il faut 111 étapes et l'on monte jusqu'à 9 232.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En programmant en Python une suite définie par une règle très simple, je suis tombé sur la conjecture de Syracuse. Je pensais pouvoir la démontrer en un week-end. J'ai découvert qu'elle résiste depuis près d'un siècle aux plus grands mathématiciens. Cette question m'a fait réfléchir à la différence entre vérifier et démontrer.

L'enjeu et les notions du programme

Explorer une suite définie par récurrence à l'aide d'un algorithme, formuler une conjecture et comprendre pourquoi des vérifications massives ne constituent pas une démonstration.

Mathématiques

Suites définies par récurrence, calcul de termes (première)
Algorithmique : boucle while, fonctions en Python (première et terminale)
Raisonnement par récurrence et ses limites (terminale)
Notion de conjecture et de démonstration (cycle terminal)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une règle enfantine
1,5 min
On part d'un entier $u_{0} \geq 1$ u₀≥1. Si $u_{n}$ uₙ est pair, $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2}$ uₙ₊₁=uₙ/2 ; sinon, $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 1$ uₙ₊₁=3uₙ+1. La conjecture affirme que l'on finit toujours par atteindre 1. Problématique : pourquoi une règle si simple est-elle si difficile à étudier ?
2. Explorer avec un algorithme
3,5 min
Partant de 6 : 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 (8 étapes). Partant de 7 : 16 étapes, avec un maximum de 52. Partant de 27 : il faut 111 étapes, et la suite monte jusqu'à 9 232 avant de redescendre.
Un programme Python de quelques lignes (une boucle while qui s'arrête à 1 en comptant les étapes) permet de tester des millions de valeurs. La conjecture a été vérifiée par ordinateur pour des nombres de départ jusqu'à plusieurs centaines de milliards de milliards, sans contre-exemple.
3. Pourquoi c'est difficile
3,5 min
La difficulté vient du mélange de deux opérations : diviser par 2 fait baisser, multiplier par 3 et ajouter 1 fait monter, et l'alternance dépend de la parité, imprévisible. Un argument heuristique : après $3 u + 1$ 3u+1 (pair), on divise au moins une fois par 2, et en moyenne la suite est multipliée par environ $\frac{3}{4}$ 3/4 à chaque cycle, ce qui suggère qu'elle descend « en moyenne ». Mais « en moyenne » ne prouve rien pour chaque nombre.
Une récurrence classique ne fonctionne pas : savoir que les nombres jusqu'à $n$ n atteignent 1 ne dit rien du chemin parcouru par $n + 1$ n+1, qui peut monter très haut. On sait seulement démontrer des résultats partiels, comme le fait que « presque tous » les nombres atteignent des valeurs plus petites que leur départ (Terence Tao, 2019).
4. Conclusion
1,5 min
La suite de Syracuse résiste parce que sa règle mélange des comportements opposés de façon imprévisible, et parce que les vérifications, aussi nombreuses soient-elles, ne remplacent pas une démonstration. Elle montre que la simplicité d'un énoncé ne dit rien de la difficulté de sa preuve. J'ouvre sur d'autres conjectures simples non résolues, comme celle de Goldbach.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

u_{n + 1} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{u _{n}}{2} 3 u_{n} + 1 si u_{n} est pair si u_{n} est impair uₙ₊₁= uₙ/2 si uₙ est pair ; [4pt]3uₙ+1 si uₙ est impair 6 \to 3 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1 6\to3\to10\to5\to16\to8\to4\to2\to1 u_{0} = 27 : 111 \overset{e}{ˊ} tapes, maximum 9232 u₀=27 : 111 étapes, maximum 9 232

Conclusion : la réponse à la question

Une suite aussi simple que celle de Syracuse résiste parce que son comportement dépend de la parité de chaque terme, imprévisible, et parce qu'aucun argument général n'a encore relié tous les cas. Elle illustre la frontière entre ce que l'on constate (sur des milliards de nombres) et ce que l'on démontre.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Écrivez l'algorithme qui compte les étapes.

def etapes(n) : k = 0 ; tant que n != 1 : si n % 2 == 0 : n = n // 2, sinon n = 3*n + 1 ; k = k + 1 ; renvoyer k.

Montrez que si

u_{0}

u₀ est une puissance de 2, la suite atteint 1.

Si $u_{0} = 2^{k}$ u₀=2^(k), chaque étape divise par 2 : $u_{k} = 1$ uₖ=1 après exactement $k$ k étapes. On le démontre par récurrence sur $k$ k.

Peut-on démontrer la conjecture en testant tous les nombres ?

Non : il y en a une infinité. Un ordinateur ne peut vérifier qu'un nombre fini de cas ; il peut seulement trouver un contre-exemple s'il en existe un.

Que se passerait-il avec la règle 3n − 1 ?

On trouve des cycles qui n'atteignent jamais 1, par exemple 5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5. Une petite modification change complètement le comportement.

Quelle est la valeur d'un problème non résolu pour les mathématiques ?

Il oblige à inventer de nouvelles méthodes : de nombreux outils sont nés de tentatives sur des conjectures simples, même lorsqu'elles restent ouvertes.

Les pièges qui coûtent des points

Présenter la conjecture comme démontrée.
Confondre vérification informatique et démonstration.
Affirmer un argument « en moyenne » comme une preuve.

Revoir les notions

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