Question de mathsMathsSuites et récurrence

Comment une banque calcule-t-elle la mensualité d'un emprunt ?

Q: Et sur 25 ans au lieu de 20 ?

$M=500/(1-1,0025⁻³⁰⁰)≈948$ € : la mensualité baisse, mais le coût total monte à environ 84 500 €.

Q: Comment évolue la part d'intérêts dans la mensualité ?

Elle vaut $t× Cₙ$ : elle diminue à mesure que le capital baisse, tandis que la part de capital remboursé augmente.

Le capital restant dû suit Cₙ₊₁ = (1 + t)Cₙ − M ; imposer C₂₄₀ = 0 donne M = C·t / (1 − (1 + t)⁻ⁿ). Pour 200 000 € à 3 % sur 20 ans, la mensualité est de 1 109 € et le coût du crédit d'environ 66 200 €.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Mes parents ont acheté un appartement et la banque leur a donné un tableau d'amortissement de 240 lignes. Je voulais comprendre d'où venait la mensualité, toujours la même, alors que la part d'intérêts change chaque mois. Le chapitre sur les suites m'a donné la réponse, et m'a fait mesurer le vrai coût d'un crédit.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un remboursement par une suite arithmético-géométrique, la résoudre grâce à une suite géométrique auxiliaire et interpréter le résultat financier.

Mathématiques

Suites arithmético-géométriques $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ uₙ₊₁=auₙ+b (terminale)
Suites géométriques, somme de termes (première)
Pourcentages et taux d'évolution (première)
Algorithmique : tableau d'amortissement en Python (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : le tableau d'amortissement
1,5 min
On emprunte $C_{0} = 200000$ C₀=200 000 € au taux annuel de 3 %, soit $t = 0, 25 %$ t=0,25 % par mois, remboursés en 240 mensualités égales $M$ M. Problématique : comment calculer $M$ M, et combien coûte réellement le crédit ?
2. Modéliser le capital restant dû
3,5 min
Chaque mois, le capital restant produit des intérêts, puis on rembourse $M$ M : $C_{n + 1} = (1 + t) C_{n} - M$ Cₙ₊₁=(1+t)Cₙ-M. C'est une suite arithmético-géométrique.
Son point fixe est $ℓ = \frac{M}{t}$ ℓ=M/t (solution de $ℓ = (1 + t) ℓ - M$ ℓ=(1+t)ℓ-M). La suite $D_{n} = C_{n} - \frac{M}{t}$ Dₙ=Cₙ-M/t vérifie $D_{n + 1} = (1 + t) D_{n}$ Dₙ₊₁=(1+t)Dₙ : elle est géométrique. Donc $C_{n} = \frac{M}{t} + (C_{0} - \frac{M}{t}) (1 + t)^{n}$ Cₙ=M/t+(C₀-M/t)(1+t)ⁿ.
Au début, les intérêts du premier mois valent $0, 0025 \times 200000 = 500$ 0,0025×200 000=500 € : une grande partie de la mensualité sert à les payer.
3. Calculer la mensualité
3,5 min
Le prêt est remboursé quand $C_{240} = 0$ C₂₄₀=0 : $\frac{M}{t} = (\frac{M}{t} - C_{0}) (1 + t)^{240}$ M/t=(M/t-C₀)(1+t)²⁴⁰, d'où $M = \frac{C _{0} t}{1 - ( 1 + t ) ^{- 240}}$ M=(C₀ t)/(1-(1+t)⁻²⁴⁰).
Application : $M = \frac{200 000 \times 0 , 0025}{1 - 1 , 002 5 ^{- 240}} \approx 1109$ M=(200 000×0,0025)/(1-1,0025⁻²⁴⁰)≈1 109 €. Le total remboursé vaut $240 \times 1109 \approx 266200$ 240×1 109≈266 200 €, soit environ 66 200 € d'intérêts. À 4 %, la mensualité passerait à 1 212 € et les intérêts à près de 91 000 € : un point de taux coûte 25 000 €.
4. Conclusion
1,5 min
La banque calcule la mensualité en imposant que le capital restant, modélisé par une suite arithmético-géométrique, soit nul à la dernière échéance. Le calcul montre le poids des intérêts au début du prêt et la sensibilité du coût au taux. J'ouvre sur l'assurance emprunteur et les frais, qui s'ajoutent au coût calculé ici.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

C_{n + 1} = (1 + t) C_{n} - M, D_{n} = C_{n} - \frac{M}{t} g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique de raison 1 + t Cₙ₊₁=(1+t) Cₙ-M, Dₙ=Cₙ-M/t géométrique de raison 1+t C_{240} = 0 ⟺ M = \frac{C _{0} t}{1 - ( 1 + t ) ^{- 240}} = \frac{200 000 \times 0 , 0025}{1 - 1 , 002 5 ^{- 240}} \approx 1109 euros C₂₄₀=0\Leftrightarrow M=(C₀ t)/(1-(1+t)⁻²⁴⁰)=(200 000\times0,0025)/(1-1,0025⁻²⁴⁰)\approx1 109 euros co \overset{u}{ˆ} t du cr \overset{e}{ˊ} dit \approx 240 \times 1109 - 200000 \approx 66200 euros coût du crédit \approx240\times1 109-200 000\approx66 200 euros

Conclusion : la réponse à la question

La mensualité s'obtient en résolvant la suite du capital restant dû et en imposant qu'il soit nul à la fin : $M = \frac{C _{0} t}{1 - ( 1 + t ) ^{- n}}$ M=C₀t/(1-(1+t)⁻ⁿ). Le modèle montre que le coût d'un crédit dépend fortement du taux et de la durée.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le taux mensuel est-il 0,25 % ?

Par convention bancaire, on divise le taux annuel par 12 (taux proportionnel). Le taux annuel réellement payé est légèrement supérieur, (1,0025)¹² − 1 ≈ 3,04 %.

Et sur 25 ans au lieu de 20 ?

$M = \frac{500}{1 - 1 , 002 5 ^{- 300}} \approx 948$ M=500/(1-1,0025⁻³⁰⁰)≈948 € : la mensualité baisse, mais le coût total monte à environ 84 500 €.

Comment évolue la part d'intérêts dans la mensualité ?

Elle vaut $t \times C_{n}$ t× Cₙ : elle diminue à mesure que le capital baisse, tandis que la part de capital remboursé augmente.

Écrivez l'algorithme du tableau d'amortissement.

C = 200000 ; pour chaque mois de 1 à 240 : interets = 0.0025*C ; C = C + interets − M ; on affiche le mois, les intérêts et C. C doit arriver à 0 (à l'arrondi près).

Que se passerait-il si M était inférieur à 500 € ?

Le capital augmenterait chaque mois : on ne paierait même pas les intérêts. La condition $M > t C_{0}$ M>tC₀ est nécessaire pour rembourser.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre taux annuel et taux mensuel.
Calculer le coût du crédit avec 3 % × 200 000 × 20, comme si le capital restait constant.
Oublier la condition C₂₄₀ = 0 qui fixe M.

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