Démontrez que $sqrt2$ est irrationnel.

Si $sqrt2=p/q$ irréductible, $p²=2q²$ : $p$ est pair, $p=2k$, puis $q²=2k²$, donc $q$ est pair : contradiction avec l'irréductibilité.

Pourquoi $qₙ$ tend-il vers l'infini ?

Par récurrence, $pₙ≥1$ et $qₙ≥1$, donc $qₙ₊₁=pₙ+qₙ≥ qₙ+1$ : la suite $(qₙ)$ augmente d'au moins 1 à chaque étape, donc $qₙ≥ n+1$.

Question de mathsMathsSuites et récurrence

Peut-on approcher √2 par des fractions de plus en plus précises ?

Q: Pourquoi les fractions alternent-elles autour de √2 ?

Le signe de $pₙ²-2qₙ²$, qui alterne, est celui de $pₙ/qₙ-sqrt2$.

Q: Vérifiez $99²-2×70²$.

$9 801-2×4 900=9 801-9 800=1$.

Q: Les fractions sont-elles irréductibles ?

Oui : un diviseur commun de $pₙ$ et $qₙ$ diviserait $pₙ²-2qₙ²=±1$.

Q: Quelle précision pour le terme suivant ?

$239/169$, avec une erreur inférieure à $1/2×169²≈1,8×10⁻⁵$.

Q: Peut-on faire de même pour √3 ?

Oui, avec $pₙ₊₁=pₙ+3qₙ$, $qₙ₊₁=pₙ+qₙ$ et le point fixe de $x↦(x+3)/(x+1)$. L'invariant devient $p²-3q²$, qui est multiplié par $-2$ à chaque étape : il faut alors simplifier les fractions, ce qui rend l'étude plus délicate.

Les suites pₙ₊₁ = pₙ + 2qₙ, qₙ₊₁ = pₙ + qₙ donnent 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70… ; comme p² − 2q² = ±1, l'erreur est inférieure à 1/(2q²) : 99/70 approche √2 à 10⁻⁴ près.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu que les Babyloniens connaissaient $2$ sqrt2 avec six décimales, il y a près de 4 000 ans, sous forme de fraction. Je me suis demandé comment trouver des fractions qui approchent $2$ sqrt2 toujours mieux, alors que l'on sait qu'il n'en existe aucune exactement égale. J'ai découvert un système de deux suites étonnamment simple.

L'enjeu et les notions du programme

Construire deux suites couplées par récurrence, démontrer une propriété invariante et en déduire une estimation de l'erreur.

Mathématiques

Suites définies par récurrence (première)
Raisonnement par récurrence et propriété invariante (terminale)
Limite d'une suite, théorèmes de comparaison (terminale)
Irrationalité de $2$ sqrt2, raisonnement par l'absurde (cycle terminal)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : approcher l'inaccessible
1,5 min
$2$ sqrt2 n'est pas une fraction (démonstration par l'absurde). Mais on peut chercher des fractions $\frac{p}{q}$ p/q très proches. Problématique : comment les construire systématiquement, et comment mesurer leur précision ?
2. Deux suites couplées
3,5 min
On part de $p_{0} = q_{0} = 1$ p₀=q₀=1 et on pose $p_{n + 1} = p_{n} + 2 q_{n}$ pₙ₊₁=pₙ+2qₙ, $q_{n + 1} = p_{n} + q_{n}$ qₙ₊₁=pₙ+qₙ. On obtient $\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70} \dots$ 1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70…
L'idée : si $\frac{p}{q} \approx 2$ p/q≈sqrt2, alors $\frac{p + 2 q}{p + q}$ (p+2q)/(p+q) est encore plus proche, car la fonction $x \mapsto \frac{x + 2}{x + 1}$ x↦(x+2)/(x+1) a pour point fixe $2$ sqrt2 ( $x^{2} = 2$ x²=2). On retrouve d'ailleurs $\frac{3}{2}$ 3/2 et $\frac{17}{12}$ 17/12, deux termes de la méthode de Héron.
3. Un invariant et l'erreur
3,5 min
On calcule $p_{n + 1}^{2} - 2 q_{n + 1}^{2} = (p_{n} + 2 q_{n})^{2} - 2 (p_{n} + q_{n})^{2} = - (p_{n}^{2} - 2 q_{n}^{2})$ pₙ₊₁²-2qₙ₊₁²=(pₙ+2qₙ)²-2(pₙ+qₙ)²=-(pₙ²-2qₙ²). Comme $p_{0}^{2} - 2 q_{0}^{2} = - 1$ p₀²-2q₀²=-1, par récurrence $p_{n}^{2} - 2 q_{n}^{2} = (- 1)^{n + 1}$ pₙ²-2qₙ²=(-1)ⁿ⁺¹ : toujours $\pm 1$ ±1.
Alors $\frac{p _{n}}{q _{n}} - 2 = \frac{∣ p _{n}^{2} - 2 q _{n}^{2} ∣}{q _{n}^{2} ( \frac{p _{n}}{q _{n}} + 2 )} = \frac{1}{q _{n}^{2} ( \frac{p _{n}}{q _{n}} + 2 )} < \frac{1}{2 q _{n}^{2}}$ |pₙ/qₙ-sqrt2|=(|pₙ²-2qₙ²|)/(qₙ²(pₙ/qₙ+sqrt2))=1/(qₙ²(pₙ/qₙ+sqrt2))<1/2qₙ², car $\frac{p _{n}}{q _{n}} \geq 1$ pₙ/qₙ≥1 et $2 > 1$ sqrt2>1. Comme $q_{n}$ qₙ tend vers l'infini, l'erreur tend vers 0.
Pour $\frac{99}{70}$ 99/70 : erreur inférieure à $\frac{1}{2 \times 4 900} \approx 1 0^{- 4}$ 1/(2×4 900)≈10⁻⁴. En effet, $\frac{99}{70} \approx 1, 41429$ 99/70≈1,414 29.
4. Conclusion
1,5 min
On approche $2$ sqrt2 par des fractions de plus en plus précises grâce à deux suites couplées ; l'invariant $p^{2} - 2 q^{2} = \pm 1$ p²-2q²=±1 garantit une erreur inférieure à $\frac{1}{2 q ^{2}}$ 1/2q². Les fractions alternent au-dessus et en dessous de $2$ sqrt2. J'ouvre sur l'équation $p^{2} - 2 q^{2} = \pm 1$ p²-2q²=±1, dite de Pell-Fermat, étudiée en arithmétique.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

p_{n + 1} = p_{n} + 2 q_{n}, q_{n + 1} = p_{n} + q_{n} : \frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70} pₙ₊₁=pₙ+2qₙ, qₙ₊₁=pₙ+qₙ : 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70 p_{n + 1}^{2} - 2 q_{n + 1}^{2} = - (p_{n}^{2} - 2 q_{n}^{2}) \Rightarrow p_{n}^{2} - 2 q_{n}^{2} = \pm 1 pₙ₊₁²-2qₙ₊₁²=-bigl(pₙ²-2qₙ²bigr) \Rightarrow pₙ²-2qₙ²=\pm1 \frac{p _{n}}{q _{n}} - 2 = \frac{1}{q _{n}^{2} ( \frac{p _{n}}{q _{n}} + 2 )} < \frac{1}{2 q _{n}^{2}} |pₙ/qₙ-sqrt2|=1/(qₙ²(pₙ/qₙ+sqrt2))<1/2qₙ²

Conclusion : la réponse à la question

Oui : les fractions $\frac{p _{n}}{q _{n}}$ pₙ/qₙ construites par récurrence approchent $2$ sqrt2 avec une erreur inférieure à $\frac{1}{2 q _{n}^{2}}$ 1/2qₙ². Une propriété invariante, démontrée par récurrence, suffit à contrôler la précision, sans jamais calculer $2$ sqrt2 ni utiliser de calculatrice.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez que

2

sqrt2 est irrationnel.

Si $2 = \frac{p}{q}$ sqrt2=p/q irréductible, $p^{2} = 2 q^{2}$ p²=2q² : $p$ p est pair, $p = 2 k$ p=2k, puis $q^{2} = 2 k^{2}$ q²=2k², donc $q$ q est pair : contradiction avec l'irréductibilité.

Pourquoi les fractions alternent-elles autour de √2 ?

Le signe de $p_{n}^{2} - 2 q_{n}^{2}$ pₙ²-2qₙ², qui alterne, est celui de $\frac{p _{n}}{q _{n}} - 2$ pₙ/qₙ-sqrt2.

Vérifiez

9 9^{2} - 2 \times 7 0^{2}

99²-2×70².

$9801 - 2 \times 4900 = 9801 - 9800 = 1$ 9 801-2×4 900=9 801-9 800=1.

Les fractions sont-elles irréductibles ?

Oui : un diviseur commun de $p_{n}$ pₙ et $q_{n}$ qₙ diviserait $p_{n}^{2} - 2 q_{n}^{2} = \pm 1$ pₙ²-2qₙ²=±1.

Quelle précision pour le terme suivant ?

$\frac{239}{169}$ 239/169, avec une erreur inférieure à $\frac{1}{2 \times 16 9 ^{2}} \approx 1, 8 \times 1 0^{- 5}$ 1/2×169²≈1,8×10⁻⁵.

Comment les Babyloniens approchaient-ils √2 ?

La tablette YBC 7289 donne en base 60 une valeur équivalente à $1, 414213$ 1,414 213, probablement obtenue par une méthode proche de celle de Héron, qui fait la moyenne entre une approximation $x$ x et $\frac{2}{x}$ 2/x.

Pourquoi

q_{n}

qₙ tend-il vers l'infini ?

Par récurrence, $p_{n} \geq 1$ pₙ≥1 et $q_{n} \geq 1$ qₙ≥1, donc $q_{n + 1} = p_{n} + q_{n} \geq q_{n} + 1$ qₙ₊₁=pₙ+qₙ≥ qₙ+1 : la suite $(q_{n})$ (qₙ) augmente d'au moins 1 à chaque étape, donc $q_{n} \geq n + 1$ qₙ≥ n+1.

Peut-on faire de même pour √3 ?

Oui, avec $p_{n + 1} = p_{n} + 3 q_{n}$ pₙ₊₁=pₙ+3qₙ, $q_{n + 1} = p_{n} + q_{n}$ qₙ₊₁=pₙ+qₙ et le point fixe de $x \mapsto \frac{x + 3}{x + 1}$ x↦(x+3)/(x+1). L'invariant devient $p^{2} - 3 q^{2}$ p²-3q², qui est multiplié par $- 2$ -2 à chaque étape : il faut alors simplifier les fractions, ce qui rend l'étude plus délicate.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier que la valeur absolue est nécessaire (les fractions alternent).
Affirmer la convergence sans montrer que qₙ tend vers l'infini.
Confondre cette méthode avec celle de Héron, qui saute des termes.

Revoir les notions

Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

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Préparer l'oral, pas seulement le contenu

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