Question de mathsMathsSuites et récurrence

Pourquoi certains systèmes finissent-ils par se stabiliser autour d'un équilibre ?

Q: Que se passe-t-il si l'association perd 20 % mais accueille 30 personnes ?

L'équilibre devient $30/0,2=150$ membres.

Q: En combien d'années l'effectif dépasse-t-il 95 ?

Il faut $60×0,8ⁿ ln12/(-ln0,8)≈11,1$ : à partir de la 12ᵉ année.

Q: Démontrez que la suite est croissante.

$uₙ₊₁-uₙ=-60×0,8ⁿ(0,8-1)=12×0,8ⁿ>0$.

Une association perd chaque année 20 % de ses membres et en accueille 20 nouveaux : uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 20 converge vers 100, quel que soit l'effectif de départ, car l'écart à 100 est multiplié par 0,8 chaque année.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Le club de sport de mon quartier voit partir chaque année une partie de ses adhérents et en recrute d'autres. Le président s'inquiétait d'une baisse ; j'ai voulu modéliser la situation avec une suite. J'ai découvert que l'effectif tend vers une valeur d'équilibre qui ne dépend pas du départ, ce qui m'a paru très puissant.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une suite arithmético-géométrique : point fixe, suite auxiliaire géométrique, convergence et interprétation de l'équilibre.

Mathématiques

Suites arithmético-géométriques $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ uₙ₊₁=auₙ+b (terminale)
Suites géométriques et limite de qⁿ (première et terminale)
Point fixe d'une fonction affine (terminale)
Sens de variation d'une suite (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un effectif qui évolue
1,5 min
Une association de 40 membres perd chaque année 20 % de ses membres et en accueille 20 nouveaux. Problématique : l'effectif va-t-il croître indéfiniment, s'effondrer ou se stabiliser ?
2. Modéliser et chercher l'équilibre
3 min
L'effectif suit $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 20$ uₙ₊₁=0,8uₙ+20, $u_{0} = 40$ u₀=40. Un équilibre est une valeur $ℓ$ ℓ qui reste constante : $ℓ = 0, 8 ℓ + 20$ ℓ=0,8ℓ+20, soit $ℓ = 100$ ℓ=100.
Interprétation : à 100 membres, 20 % de départs représentent exactement 20 personnes, compensées par les 20 arrivées. Les premiers termes : 40 ; 52 ; 61,6 ; 69,3… La suite semble monter vers 100.
3. Démontrer la convergence
4 min
On pose $v_{n} = u_{n} - 100$ vₙ=uₙ-100, l'écart à l'équilibre. Alors $v_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 20 - 100 = 0, 8 (u_{n} - 100) = 0, 8 v_{n}$ vₙ₊₁=0,8uₙ+20-100=0,8(uₙ-100)=0,8vₙ : la suite $(v_{n})$ (vₙ) est géométrique de raison $0, 8$ 0,8, avec $v_{0} = - 60$ v₀=-60.
Donc $u_{n} = 100 - 60 \times 0, 8^{n}$ uₙ=100-60×0,8ⁿ. Comme $0 < 0, 8 < 1$ 0<0,8<1, $0, 8^{n} \to 0$ 0,8ⁿ→0, et $u_{n} \to 100$ uₙ→100. L'écart est multiplié par 0,8 chaque année : il est divisé par 2 environ tous les 3 ans ( $0, 8^{3} \approx 0, 51$ 0,8³≈0,51).
Si l'on partait de 150 membres, $v_{0} = 50$ v₀=50 et $u_{n} = 100 + 50 \times 0, 8^{n}$ uₙ=100+50×0,8ⁿ décroîtrait vers 100 : l'équilibre ne dépend pas du départ. Il dépend seulement du taux de départ et du recrutement : $ℓ = \frac{20}{0 , 2}$ ℓ=20/0,2.
4. Conclusion
1,5 min
Un système modélisé par $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ uₙ₊₁=auₙ+b avec $0 < a < 1$ 0<a<1 se stabilise vers l'équilibre $\frac{b}{1 - a}$ b/(1-a), car l'écart à cet équilibre diminue géométriquement. Le président du club peut agir sur le recrutement ou la fidélisation, pas sur l'effectif de départ. J'ouvre sur les nombreux modèles de ce type : médicament dans le sang, stock d'un produit, polluant dans un lac.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 20, ℓ = 0, 8 ℓ + 20 ⟺ ℓ = 100 uₙ₊₁=0,8 uₙ+20, ℓ=0,8ℓ+20\Leftrightarrowℓ=100 v_{n} = u_{n} - 100 : v_{n + 1} = 0, 8 v_{n} \Rightarrow u_{n} = 100 - 60 \times 0, 8^{n} n \to + \infty 100 vₙ=uₙ-100 : vₙ₊₁=0,8 vₙ \Rightarrow uₙ=100-60\times0,8ⁿ \to 100

Conclusion : la réponse à la question

L'effectif se stabilise autour de 100 membres parce que l'écart à cet équilibre est multiplié par 0,8 chaque année. Cette propriété générale des suites arithmético-géométriques explique la stabilisation de nombreux systèmes et montre sur quels paramètres agir.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que se passe-t-il si l'association perd 20 % mais accueille 30 personnes ?

L'équilibre devient $\frac{30}{0 , 2} = 150$ 30/0,2=150 membres.

Et si a > 1, par exemple uₙ₊₁ = 1,1uₙ − 5 ?

L'écart au point fixe 50 est multiplié par 1,1 : il s'amplifie. La suite s'éloigne de l'équilibre (instable), sauf si l'on part exactement de 50.

En combien d'années l'effectif dépasse-t-il 95 ?

Il faut $60 \times 0, 8^{n} < 5$ 60×0,8ⁿ<5, soit $0, 8^{n} < \frac{1}{12}$ 0,8ⁿ<1/12, $n > \frac{l n 12}{- l n 0 , 8} \approx 11, 1$ n>ln12/(-ln0,8)≈11,1 : à partir de la 12ᵉ année.

Démontrez que la suite est croissante.

$u_{n + 1} - u_{n} = - 60 \times 0, 8^{n} (0, 8 - 1) = 12 \times 0, 8^{n} > 0$ uₙ₊₁-uₙ=-60×0,8ⁿ(0,8-1)=12×0,8ⁿ>0.

Le modèle est-il réaliste ?

Il suppose un taux de départ constant et un recrutement fixe, indépendant de la taille du club. En réalité, un grand club attire plus : le recrutement pourrait dépendre de l'effectif.

Comment présenter ce résultat au président du club ?

Sans formule : « chaque année, l'écart entre l'effectif et 100 membres est réduit de 20 %. Quel que soit le point de départ, on se rapproche de 100. Pour monter plus haut, il faut recruter davantage ou retenir mieux les adhérents : l'équilibre vaut le recrutement divisé par le taux de départ. »

Les pièges qui coûtent des points

Croire que l'effectif croît indéfiniment parce que la suite est croissante.
Oublier de démontrer la convergence (trouver le point fixe ne suffit pas).
Mal calculer v₀ en oubliant le signe.

Revoir les notions

Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

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