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Méthode · Première spé maths

Calculer la somme des termes d'une suite

Calculer la somme des termes d'une suite se fait en trois temps : reconnaître la nature de la suite, compter les termes, appliquer la formule correspondante. L'identification est l'étape décisive — une différence constante signale une suite arithmétique, un rapport constant une suite géométrique — car les deux formules n'ont rien de commun. Le comptage des termes est l'autre source d'erreur classique : de u₀ à uₙ, il y a n+1 termes et non n.

Les étapes

  1. 1

    Identifier la suite

    Arithmétique ou géométrique.
  2. 2

    Compter les termes

    Nombre N de termes additionnés.
  3. 3

    Appliquer la formule

    Selon le type, somme arithmétique ou géométrique.

Exemple corrigé

Calculer 1 + 2 + 3 + … + 100.

  1. 1.Suite arithmétique, 100 termes, premier 1, dernier 100.
  2. 2.S = 100×(1 + 100)/2 = 100× 50,5.
  3. 3.S = 5050.
Résultat : 5050.

Deuxième exemple

Calculer 1 + 2 + 4 + 8 + … + 128.

  1. 1.Le rapport de deux termes consécutifs vaut 2 : la suite est géométrique de raison 2 et de premier terme 1.
  2. 2.De 1 à 128 = 2⁷, il y a 8 termes.
  3. 3.S = 1 × (1 - 2⁸)/(1 - 2) = (1 - 256)/(-1) = 255.
Résultat : 255.

Piège à éviter

Choisir la bonne formule : arithmétique (moyenne des extrêmes) ou géométrique ((1-q^(N))/(1-q)).

Questions fréquentes

Peut-on vérifier le résultat rapidement ?
Oui, par encadrement : la somme est comprise entre N fois le plus petit terme et N fois le plus grand. Pour 255 avec 8 termes allant de 1 à 128, l'encadrement 8 < S < 1 024 est cohérent.
Peut-on additionner terme à terme au lieu d'utiliser la formule ?
Pour quelques termes, oui. Au-delà d'une dizaine, la formule est plus rapide et bien moins risquée.
Que faire si la somme ne commence pas au premier terme ?
On calcule la somme depuis le début et on retranche celle des termes qu'on ne veut pas, ou bien on applique la formule avec le vrai premier terme de la tranche.

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