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Méthode · Première spé maths

Calculer la somme d'une suite arithmétique

Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique repose sur une seule formule, mais elle demande trois informations : le nombre de termes, le premier et le dernier. Le dernier n'est pas toujours fourni — il faut souvent le calculer avec uₙ = u₀ + n r avant de pouvoir appliquer la formule. Le nombre de termes est l'autre point de vigilance : de u₀ à uₙ, il y en a n+1. Une fois ces trois valeurs réunies, la somme vaut N × (premier + dernier)/2.

Les étapes

  1. 1

    Compter les termes

    Nombre N.
  2. 2

    Premier et dernier

    On relève u_premier et u_dernier.
  3. 3

    Appliquer

    S = N×(premier + dernier)/2.

Exemple corrigé

Calculer u₀ + … + u₁₀ pour uₙ = 5 + 3n.

  1. 1.11 termes ; u₀ = 5, u₁₀ = 35.
  2. 2.S = 11×(5 + 35)/2 = 11× 20.
  3. 3.S = 220.
Résultat : 220.

Deuxième exemple

Calculer u₁ + u₂ + … + u₂₀ pour la suite arithmétique de premier terme u₁ = 4 et de raison 5.

  1. 1.De u₁ à u₂₀, il y a 20 termes.
  2. 2.Dernier terme : u₂₀ = u₁ + 19× 5 = 4 + 95 = 99.
  3. 3.S = 20 × (4 + 99)/2 = 20 × 51,5 = 1 030.
Résultat : 1 030.

Piège à éviter

Calculer le dernier terme avec uₙ = u₀ + nr avant la somme.

Questions fréquentes

Comment obtenir le dernier terme s'il n'est pas donné ?
Avec la formule explicite uₙ = u₀ + n r, ou uₙ = uₚ + (n-p) r si l'on part d'un autre rang.
La somme peut-elle être négative ?
Oui, si les termes le sont majoritairement. La formule s'applique sans changement, le signe apparaît dans le résultat.
Que faire si la somme commence au rang 1 et non au rang 0 ?
Rien de particulier : on prend u₁ comme premier terme et on compte les termes à partir de là.

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