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Méthode · Première spé maths

Calculer la somme d'une suite géométrique

Calculer la somme des termes d'une suite géométrique demande trois éléments : le premier terme, la raison, et le nombre de termes. Ce nombre est l'exposant qui apparaît dans la formule, et c'est là que se glissent les erreurs — de u₀ à uₙ, il y en a n+1, pas n. La formule ne vaut que si la raison diffère de 1 : dans ce cas particulier, tous les termes sont égaux et la somme se réduit à N × u₀.

Les étapes

  1. 1

    Identifier u₀ et q

    Premier terme et raison.
  2. 2

    Compter les termes

    N termes.
  3. 3

    Appliquer

    S = u₀×(1 - q^(N))/(1 - q).

Exemple corrigé

Calculer u₀ + … + u₄ pour uₙ = 2× 3ⁿ.

  1. 1.u₀ = 2, q = 3, N = 5 termes.
  2. 2.S = 2×(1 - 3⁵)/(1 - 3) = 2×(-242)/(-2).
  3. 3.S = 242.
Résultat : 242.

Deuxième exemple

Calculer u₀ + u₁ + u₂ + u₃ pour uₙ = 0,5ⁿ.

  1. 1.u₀ = 1, q = 0,5, et de u₀ à u₃ il y a N = 4 termes.
  2. 2.S = 1 × (1 - 0,5⁴)/(1 - 0,5) = (1 - 0,0625)/0,5.
  3. 3.S = 0,9375/0,5 = 1,875.
Résultat : 1,875.

Piège à éviter

Calculer q^(N) (et non qⁿ) : N est le nombre de termes.

Questions fréquentes

Comment savoir si la formule s'applique ?
Il faut que la raison soit constante et différente de 1. On le vérifie en calculant le rapport de deux termes consécutifs.
Quelle erreur produit un exposant faux ?
Un résultat décalé : avec q = 0,5, prendre N = 3 au lieu de 4 donne 1,75 au lieu de 1,875.
Peut-on additionner directement quand il y a peu de termes ?
Oui, et c'est même conseillé comme vérification : 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 1,875 confirme la formule.

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