Comment étudier le sens de variation d'une suite ? Méthode et exemples

Q: Suffit-il de calculer les premiers termes ?

Non, cela ne prouve rien. un = n2 - 6n décroît au début puis croît : les trois premiers termes induiraient en erreur.

Q: Comment étudier une suite définie par récurrence ?

On exprime un+1 - un à l'aide de la relation de récurrence, puis on étudie le signe obtenu, parfois à l'appui d'un raisonnement par récurrence.

Les étapes

1
Calculer u(n+1) − u(n)
On exprime la différence en fonction de $n$ n.
2
Étudier le signe
Positif → croissante ; négatif → décroissante.

Exemple corrigé

Étudier le sens de variation de $u_{n} = n^{2}$ uₙ = n².

1. $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1$ uₙ₊₁ - uₙ = (n+1)² - n² = 2n + 1.
2.Pour $n \geq 0$ n ≥ 0, $2 n + 1 > 0$ 2n + 1 > 0.
3.La suite est croissante.

Résultat : Croissante.

Deuxième exemple

Étudier le sens de variation de $u_{n} = n^{2} - 6 n$ uₙ = n² - 6n.

1. $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - 6 (n + 1) - (n^{2} - 6 n)$ uₙ₊₁ - uₙ = (n+1)² - 6(n+1) - (n² - 6n).
2.En développant : $n^{2} + 2 n + 1 - 6 n - 6 - n^{2} + 6 n = 2 n - 5$ n² + 2n + 1 - 6n - 6 - n² + 6n = 2n - 5.
3. $2 n - 5 < 0$ 2n - 5 < 0 pour $n \leq 2$ n ≤ 2, et $2 n - 5 > 0$ 2n - 5 > 0 pour $n \geq 3$ n ≥ 3.

Résultat : La suite décroît jusqu'au rang

3

3, puis croît : elle n'est pas monotone.

Piège à éviter

Bien développer

(n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n + 1

(n+1)² = n² + 2n + 1.

Questions fréquentes

Suffit-il de calculer les premiers termes ?

Non, cela ne prouve rien.

u_{n} = n^{2} - 6 n

uₙ = n² - 6n décroît au début puis croît : les trois premiers termes induiraient en erreur.

Comment étudier une suite définie par récurrence ?

On exprime

u_{n + 1} - u_{n}

uₙ₊₁ - uₙ à l'aide de la relation de récurrence, puis on étudie le signe obtenu, parfois à l'appui d'un raisonnement par récurrence.

Que conclure si la différence change de signe ?

Que la suite n'est pas monotone. On précise alors les rangs où elle croît et ceux où elle décroît.

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