Les étapes pour utiliser un arbre pondéré

1
Construire l'arbre
Premier niveau : $A$ A et $\overline{A}$ A̅ avec $P (A)$ P(A) et $P (\overline{A})$ P(A̅). Second niveau : $B$ B et $\overline{B}$ B̅ avec les conditionnelles $P_{A} (B)$ P_A(B), $P_{\overline{A}} (B)$ P_A̅(B)…
2
Multiplier le long d'un chemin
La probabilité d'un chemin (donc d'une intersection) est le produit des probabilités rencontrées : par exemple $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ P(A ∩ B) = P(A) P_A(B).
3
Additionner pour un événement global
Pour $P (B)$ P(B), on additionne les probabilités de tous les chemins menant à $B$ B (probabilités totales).

Exemple corrigé : utiliser un arbre pondéré

Une usine : $60%$ 60% des pièces viennent de la machine $A$ A, le reste de $\overline{A}$ A̅. $A$ A produit $5%$ 5% de pièces défectueuses ( $D$ D), $\overline{A}$ A̅ en produit $10%$ 10%. Calculer $P (D)$ P(D).

1. $P (A) = 0, 6$ P(A) = 0,6, $P (\overline{A}) = 0, 4$ P(A̅) = 0,4, $P_{A} (D) = 0, 05$ P_A(D) = 0,05, $P_{\overline{A}} (D) = 0, 10$ P_A̅(D) = 0,10.
2.Chemins menant à $D$ D : $P (A \cap D) = 0, 6 \times 0, 05 = 0, 03$ P(A ∩ D) = 0,6× 0,05 = 0,03 et $P (\overline{A} \cap D) = 0, 4 \times 0, 10 = 0, 04$ P(A̅ ∩ D) = 0,4× 0,10 = 0,04.
3.Probabilités totales : $P (D) = 0, 03 + 0, 04 = 0, 07$ P(D) = 0,03 + 0,04 = 0,07.

Résultat :

P (D) = 0, 07

P(D) = 0,07.

Piège à éviter avec la probabilité conditionnelle

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours

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