Notion

La loi binomiale

La loi binomiale $B (n, p)$ B (n,p) modélise le nombre de succès lors de $n$ n répétitions identiques et indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli (une expérience à deux issues, succès de probabilité $p$ p ou échec). La variable aléatoire $X$ X qui compte les succès prend ses valeurs entre $0$ 0 et $n$ n, avec $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ P(X=k)= C(n, k) p^(k)(1-p)^(n-k). Son espérance vaut $E (X) = n p$ E(X)=np et sa variance $V (X) = n p (1 - p)$ V(X)=np(1-p). La loi binomiale sert à modéliser les contrôles de qualité, les sondages, les tirages avec remise. Elle mobilise les coefficients binomiaux et le dénombrement, et constitue un pilier des probabilités de terminale, à la base des intervalles de fluctuation.

Définitions

Épreuve de Bernoulli: C'est une expérience à deux issues seulement : « succès » (probabilité $p$ p) ou « échec » (probabilité $1 - p$ 1-p). Exemple : un lancer de pièce, ou « la pièce est défectueuse ou non ».
Schéma de Bernoulli: C'est la répétition de $n$ n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Le nombre de succès obtenus suit alors une loi binomiale.
Loi binomiale: Si $X$ X compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de $n$ n épreuves de probabilité de succès $p$ p, alors $X$ X suit la loi binomiale $B (n; p)$ B (n ; p). $X$ X peut prendre les valeurs $0, 1, \dots, n$ 0, 1, …, n.
Coefficient binomial: Le coefficient binomial $(k n)$ C(n, k) (« $k$ k parmi $n$ n ») compte le nombre de façons d'obtenir $k$ k succès parmi $n$ n épreuves. Il se calcule à la calculatrice.

Formules

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Loi binomiale : P(X = k) →

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

P(X = k) = C(n, k) p^(k) (1-p)^(n-k)La probabilité d'obtenir exactement k succès sur n épreuves.Espérance de la loi binomiale →

E (X) = n p

E(X) = npLe nombre moyen de succès attendu.Variance et écart-type de la loi binomiale →

V (X) = n p (1 - p) σ (X) = n p (1 - p)

V(X) = np(1-p) σ(X) = √(np(1-p))La dispersion du nombre de succès autour de la moyenne.

Méthodes

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Utiliser la loi binomiale →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Probabilité d'un nombre de succès

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

X \sim B (10; 0, 3)

X ~ B (10 ; 0,3). Calculer

P (X = 2)

P(X = 2).

Voir la correction

1.
On applique $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ P(X = k) = C(n, k) p^(k) (1-p)^(n-k) avec $n = 10$ n = 10, $p = 0, 3$ p = 0,3, $k = 2$ k = 2.
→ Loi binomiale : P(X = k)
2.
$(2 10) = 45$ C(10, 2) = 45, $0, 3^{2} = 0, 09$ 0,3² = 0,09, $0, 7^{8} \approx 0, 0576$ 0,7⁸ ≈ 0,0576.
3.
$P (X = 2) = 45 \times 0, 09 \times 0, 0576 \approx 0, 233$ P(X = 2) = 45× 0,09× 0,0576 ≈ 0,233.

Réponse :

P (X = 2) \approx 0, 233

P(X = 2) ≈ 0,233.

Méthode utilisée : $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ P(X=k)= C(n, k) p^(k)(1-p)^(n-k).

Erreur fréquente : Oublier le coefficient binomial $(k n)$ C(n, k).

Espérance, variance, écart-type

Niveau 1 · Application directe

Soit

X \sim B (10; 0, 3)

X ~ B (10 ; 0,3). Donner

E (X)

E(X),

V (X)

V(X) et

σ (X)

σ(X).

Voir la correction

1.
Espérance : $E (X) = n p = 10 \times 0, 3 = 3$ E(X) = np = 10× 0,3 = 3.
→ Espérance de la loi binomiale
2.
Variance : $V (X) = n p (1 - p) = 10 \times 0, 3 \times 0, 7 = 2, 1$ V(X) = np(1-p) = 10× 0,3× 0,7 = 2,1.
→ Variance et écart-type de la loi binomiale
3.
Écart-type : $σ (X) = 2, 1 \approx 1, 45$ σ(X) = √(2,1) ≈ 1,45.

Réponse :

E (X) = 3

E(X) = 3 ;

V (X) = 2, 1

V(X) = 2,1 ;

σ (X) \approx 1, 45

σ(X) ≈ 1,45.

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Questions fréquentes

C'est quoi la loi binomiale, simplement ?

C'est la loi qui compte le nombre de réussites quand on répète plusieurs fois la même expérience à deux issues. Exemple : sur 10 lancers d'une pièce, combien de fois tombe-t-on sur pile ? Le nombre de piles suit une loi binomiale.

Quand peut-on utiliser la loi binomiale ?

Quand trois conditions sont réunies : on répète la même épreuve un nombre fixé n de fois, chaque épreuve n'a que deux issues (succès/échec), et les épreuves sont indépendantes (le résultat de l'une n'influence pas les autres).

Que représentent n et p ?

n est le nombre de répétitions (par exemple 10 lancers), et p la probabilité de succès à chaque essai (par exemple 0,5 pour pile avec une pièce équilibrée). La loi se note B(n ; p).

Comment calculer « au moins un » succès ?

On passe par le contraire, c'est plus rapide : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Calculer P(X = 0) puis soustraire à 1 évite d'additionner toutes les autres possibilités.

Que valent l'espérance et la variance ?

L'espérance est E(X) = np : le nombre moyen de succès attendu. La variance est V(X) = np(1−p), et l'écart-type sa racine carrée. Par exemple sur B(10 ; 0,3), on attend en moyenne 3 succès.

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