Notion

Les événements indépendants

Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. Mathématiquement, $A$ A et $B$ B sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ P(A∩ B)=P(A)× P(B), ce qui équivaut à $P_{B} (A) = P (A)$ P_B(A)=P(A) quand $P (B) \neq = 0$ P(B)≠0. Attention à ne pas confondre indépendance et incompatibilité : deux événements incompatibles (qui ne peuvent se produire ensemble) ne sont justement pas indépendants. L'indépendance permet de multiplier les probabilités, ce qui simplifie l'étude de répétitions d'expériences, comme dans la loi binomiale où les épreuves sont indépendantes. Reconnaître ou démontrer l'indépendance de deux événements est une compétence classique des probabilités de terminale.

Définitions

Événements indépendants: Deux événements $A$ A et $B$ B sont indépendants lorsque $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Intuitivement, savoir que $A$ A est réalisé ne modifie pas la probabilité de $B$ B.
Lecture conditionnelle: Lorsque $P (A) \neq = 0$ P(A) ≠ 0, l'indépendance équivaut à $P_{A} (B) = P (B)$ P_A(B) = P(B) : la probabilité de $B$ B « sachant $A$ A » est la même que la probabilité de $B$ B tout court.
Indépendance et contraires: Si $A$ A et $B$ B sont indépendants, alors $A$ A et $\overline{B}$ B̅, $\overline{A}$ A̅ et $B$ B, $\overline{A}$ A̅ et $\overline{B}$ B̅ le sont aussi. L'indépendance se conserve par passage au contraire.

Formules

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Critère d'indépendance →

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)P(A ∩ B) = P(A) × P(B)La probabilité de l'intersection est le produit des probabilités.Caractérisation conditionnelle →

P_{A} (B) = P (B) (P (A) \neq = 0)

P_A(B) = P(B) (P(A) ≠ 0)P_A(B) = P(B), avec P(A) ≠ 0Conditionner par A ne change pas la probabilité de B.

Méthodes

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Montrer que deux événements sont indépendants →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Test direct

Niveau 1 · Application directe

P (A) = 0, 3

P(A)=0,3,

P (B) = 0, 5

P(B)=0,5,

P (A \cap B) = 0, 15

P(A∩ B)=0,15. Indépendants ?

Voir la correction

1.
$P (A) \times P (B) = 0, 3 \times 0, 5 = 0, 15$ P(A)× P(B) = 0,3× 0,5 = 0,15.
→ Critère d'indépendance
2.
Égal à $P (A \cap B)$ P(A∩ B) : oui, indépendants.

Réponse : Oui.

Réfuter l'indépendance

Niveau 1 · Application directe

P (A) = 0, 4

P(A)=0,4,

P (B) = 0, 5

P(B)=0,5,

P (A \cap B) = 0, 1

P(A∩ B)=0,1. Indépendants ?

Voir la correction

1.
$P (A) \times P (B) = 0, 2 \neq = 0, 1$ P(A)× P(B) = 0,2 ≠ 0,1.
→ Critère d'indépendance
2.
Non indépendants.

Réponse : Non.

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Questions fréquentes

Quelle différence entre indépendant et incompatible ?

Incompatible : A et B ne peuvent pas se produire ensemble (A ∩ B = ∅). Indépendant : la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre, ce qui se traduit par P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Comment prouver que deux événements sont indépendants ?

On calcule P(A ∩ B) d'un côté, P(A) × P(B) de l'autre, et on vérifie l'égalité. Si elle est vraie, ils sont indépendants ; sinon, non.

Si A et B sont indépendants, A et B̄ le sont-ils ?

Oui. L'indépendance se conserve par passage au contraire : A et B̄, Ā et B, Ā et B̄ sont également indépendants.

Quel est le lien avec la loi binomiale ?

La loi binomiale modélise la répétition de n épreuves identiques et indépendantes (schéma de Bernoulli). L'indépendance des épreuves est l'hypothèse essentielle qui permet de multiplier les probabilités.

Quelle est la formule des événements indépendants ?

A et B sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) × P(B). De façon équivalente (si P(A) ≠ 0), lorsque P_A(B) = P(B).

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