Notion

La formule de Bayes

La formule de Bayes permet de renverser un conditionnement : calculer $P_{A} (B)$ P_A(B) à partir de $P_{B} (A)$ P_B(A). Elle s'écrit $P_{A} (B) = \frac{P ( B ) P _{B} ( A )}{P ( A )}$ P_A(B)=(P(B) P_B(A))/P(A), où le dénominateur $P (A)$ P(A) se calcule le plus souvent par la formule des probabilités totales. Elle répond à des questions du type « sachant que le test est positif, quelle est la probabilité d'être réellement malade ? », en tenant compte de la rareté de l'événement. La formule de Bayes met en lumière l'écart entre $P_{B} (A)$ P_B(A) et $P_{A} (B)$ P_A(B), souvent contre-intuitif (nombreux faux positifs). Classique des exercices sur les tests de dépistage, elle articule probabilités conditionnelles, arbre pondéré et probabilités totales.

Définitions

Formule de Bayes: Elle relie les deux conditionnements inverses : $P_{B} (A)$ P_B(A) et $P_{A} (B)$ P_A(B). Connaissant $P (A)$ P(A) et $P_{A} (B)$ P_A(B), elle donne $P_{B} (A) = \frac{P ( A ) P _{A} ( B )}{P ( B )}$ P_B(A) = (P(A) P_A(B))/P(B).
Conditionnement inverse: $P_{A} (B)$ P_A(B) (B sachant A) et $P_{B} (A)$ P_B(A) (A sachant B) sont en général différents. Inverser le conditionnement, c'est calculer l'un à partir de l'autre — exactement ce que fait Bayes.
Partition (causes possibles): Pour calculer $P (B)$ P(B) au dénominateur, on utilise une partition de l'univers (par exemple $A$ A et son contraire $\overline{A}$ A̅), c'est-à-dire toutes les « causes » possibles de $B$ B.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Formule de Bayes →

P_{B} (A) = \frac{P ( A ) P _{A} ( B )}{P ( B )}

P_B(A) = (P(A) P_A(B))/P(B)Inverser le conditionnement : de « B sachant A » à « A sachant B ».Formule de Bayes développée →

P_{B} (A) = \frac{P ( A ) P _{A} ( B )}{P ( A ) P _{A} ( B ) + P ( A ) P _{\overline{A}} ( B )}

P_B(A) = (P(A) P_A(B))/(P(A) P_A(B) + P(A̅) P_A̅(B))La version où le dénominateur est détaillé par les probabilités totales.

Méthodes

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Utiliser la formule de Bayes →

4 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Inverser un conditionnement

Niveau 2 · Méthode complète

On donne

P (A) = 0, 4

P(A)=0,4,

P_{A} (B) = 0, 5

P_A(B)=0,5,

P (\overline{A}) = 0, 6

P(A̅)=0,6 et

P_{\overline{A}} (B) = 0, 25

P_A̅(B)=0,25. Calculer

P_{B} (A)

P_B(A).

Voir la correction

1.
Numérateur : $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B) = 0, 4 \times 0, 5 = 0, 2$ P(A ∩ B) = P(A) P_A(B) = 0,4× 0,5 = 0,2.
2.
Dénominateur : $P (B) = 0, 4 \times 0, 5 + 0, 6 \times 0, 25 = 0, 2 + 0, 15 = 0, 35$ P(B) = 0,4× 0,5 + 0,6× 0,25 = 0,2 + 0,15 = 0,35.
3.
$P_{B} (A) = \frac{0 , 2}{0 , 35} = \frac{4}{7} \approx 0, 57$ P_B(A) = 0,2/0,35 = 4/7 ≈ 0,57.
→ Formule de Bayes développée

Réponse :

P_{B} (A) = \frac{4}{7} \approx 0, 57

P_B(A) = 4/7 ≈ 0,57.

Méthode utilisée : Probabilités totales pour $P (B)$ P(B), puis formule de Bayes.

Erreur fréquente : Oublier de calculer $P (B)$ P(B) au dénominateur.

Le paradoxe du test médical

Niveau 3 · Type contrôle

Une maladie touche

1%

1% de la population. Le test est positif chez

99%

99% des malades et chez

5%

5% des non-malades. Une personne testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?

Voir la correction

1.
On note $M$ M « malade » et $T$ T « test positif ». Données : $P (M) = 0, 01$ P(M)=0,01, $P_{M} (T) = 0, 99$ P_M(T)=0,99, $P_{\overline{M}} (T) = 0, 05$ P_M̅(T)=0,05.
2.
Numérateur : $P (M \cap T) = 0, 01 \times 0, 99 = 0, 0099$ P(M ∩ T) = 0,01× 0,99 = 0,0099.
3.
Probabilité totale d'un test positif : $P (T) = 0, 0099 + 0, 99 \times 0, 05 = 0, 0099 + 0, 0495 = 0, 0594$ P(T) = 0,0099 + 0,99× 0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594.
4.
$P_{T} (M) = \frac{0 , 0099}{0 , 0594} = \frac{1}{6} \approx 0, 17$ P_T(M) = 0,0099/0,0594 = 1/6 ≈ 0,17.
→ Formule de Bayes développée

Réponse :

P_{T} (M) = \frac{1}{6} \approx 0, 17

P_T(M) = 1/6 ≈ 0,17, soit environ

17%

17%.

Méthode utilisée : Probabilités totales puis Bayes.

Erreur fréquente : Croire que la réponse est proche de $99%$ 99% : la maladie étant rare, beaucoup de positifs sont des faux positifs.

Faire les 10 exercices types sur formule de bayes8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

À quoi sert la formule de Bayes, simplement ?

À retourner une information. On sait souvent « la probabilité d'un symptôme sachant la maladie » ; Bayes permet de calculer l'inverse, « la probabilité de la maladie sachant le symptôme » — ce qui nous intéresse vraiment en pratique.

Pourquoi un test positif ne veut pas dire « malade à coup sûr » ?

Parce que si la maladie est rare, il y a beaucoup plus de gens en bonne santé. Même un petit pourcentage de faux positifs parmi eux représente beaucoup de personnes, parfois plus que les vrais malades. C'est tout l'intérêt de Bayes : il chiffre ce phénomène contre-intuitif.

Quelle différence entre P_A(B) et P_B(A) ?

P_A(B) c'est « B sachant A », P_B(A) c'est « A sachant B » : pas la même chose ! Exemple : « être trempé sachant qu'il pleut » est très probable, mais « il pleut sachant qu'on est trempé » l'est moins (on a pu tomber à l'eau). Bayes relie ces deux quantités.

Comment trouver le P(B) au dénominateur ?

Avec la formule des probabilités totales : on additionne toutes les façons d'obtenir B. Sur un arbre, on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à B.

Faut-il un arbre pour appliquer Bayes ?

Ce n'est pas obligatoire, mais l'arbre pondéré aide énormément : il montre les chemins à multiplier (numérateur) et ceux à additionner (dénominateur). C'est la façon la plus sûre de ne pas se tromper.

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