Relation de récurrence : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

La définition d'une suite arithmétique : chaque terme s'obtient en ajoutant la raison $r$ r au précédent.

Pour montrer qu'une suite est arithmétique, on calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ uₙ₊₁ - uₙ et on vérifie que le résultat est une constante (qui est alors la raison).

La relation $u_{n + 1} = u_{n} + r$ uₙ₊₁ = uₙ + r décrit une progression à pas constant. La forme explicite $u_{n} = u_{0} + n r$ uₙ = u₀ + n r s'en déduit : on ajoute $n$ n fois la raison au premier terme.

Une suite arithmétique modélise une évolution à variation absolue constante : un abonnement qui augmente du même nombre d'euros chaque année, une hauteur d'eau qui monte régulièrement.

Exemple

u_{n + 1} = u_{n} + 3

uₙ₊₁ = uₙ + 3 avec

u_{0} = 5

u₀ = 5 : la suite est arithmétique de raison

3

Deuxième exemple

Un abonnement coûte

120

120 € la première année et augmente de

8

8 € par an :

u_{n + 1} = u_{n} + 8

uₙ₊₁ = uₙ + 8 avec

u_{0} = 120

u₀ = 120, donc

u_{n} = 120 + 8 n

uₙ = 120 + 8n. La dixième année, il coûte

u_{9} = 120 + 72 = 192

u₉ = 120 + 72 = 192 €.

Piège à éviter

La différence

u_{n + 1} - u_{n}

uₙ₊₁ - uₙ doit être constante : si elle dépend de

n

n, la suite n'est pas arithmétique.

Les autres formules de la suite arithmétique

Terme général d'une suite arithmétique →

u_{n} = u_{0} + n r u_{n} = u_{p} + (n - p) r

uₙ = u₀ + n r uₙ = uₚ + (n - p) r Somme des termes →

S = (nombre de termes) \times \frac{premier + dernier}{2}

S = ( nombre de termes ) × (premier + dernier)/2

Questions fréquentes

Comment démontrer qu'une suite est arithmétique ?

On calcule

u_{n + 1} - u_{n}

uₙ₊₁ - uₙ et on montre que le résultat ne dépend pas de

n

n. La constante obtenue est la raison.

Quelle différence avec une suite géométrique ?

L'arithmétique ajoute toujours la même quantité, la géométrique multiplie toujours par le même nombre : variation absolue constante d'un côté, taux constant de l'autre.

Comment atteindre un rang élevé sans calculer tous les termes ?

Avec la forme explicite

u_{n} = u_{0} + n r

uₙ = u₀ + n r, qui donne

u_{100}

u₁₀₀ en une seule opération.

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