Relation de récurrence : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

La définition d'une suite géométrique : chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par la raison $q$ q.

Pour montrer qu'une suite est géométrique, on calcule le rapport $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ uₙ₊₁/uₙ et on vérifie qu'il est constant (c'est alors la raison).

La relation $u_{n + 1} = q u_{n}$ uₙ₊₁ = q uₙ définit la suite pas à pas ; avec le premier terme, elle suffit à engendrer tous les autres. La forme explicite $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ uₙ = u₀ × qⁿ en découle et permet d'atteindre directement un rang élevé.

Une suite géométrique modélise toute évolution à taux constant : intérêts composés, croissance d'une population, décroissance radioactive. La raison n'est autre que le coefficient multiplicateur.

Exemple

u_{n + 1} = 3 u_{n}

uₙ₊₁ = 3 uₙ avec

u_{0} = 2

u₀ = 2 : la suite est géométrique de raison

3

Deuxième exemple

Un capital de

2000

2 000 € placé à

3%

3% par an suit

u_{n + 1} = 1, 03 u_{n}

uₙ₊₁ = 1,03 uₙ : c'est une suite géométrique de raison

1, 03

1,03, et

u_{n} = 2000 \times 1, 0 3^{n}

uₙ = 2 000 × 1,03ⁿ.

Piège à éviter

C'est le rapport (division) qui doit être constant, pas la différence comme pour une suite arithmétique.

Les autres formules de la suite géométrique

Terme général d'une suite géométrique →

u_{n} = u_{0} \times q^{n} u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}

uₙ = u₀ × q^(n) uₙ = uₚ × q^(n - p)Somme des termes →

S = (premier terme) \times \frac{1 - q ^{nombre de termes}}{1 - q} (q \neq = 1)

S = ( premier terme ) × (1 - q^(nombre de termes))/(1 - q) (q ≠ 1)

Questions fréquentes

Comment démontrer qu'une suite est géométrique ?

On calcule

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

uₙ₊₁/uₙ et on montre que le résultat ne dépend pas de

n

n. La valeur obtenue est la raison.

Quel lien avec les pourcentages ?

Une hausse de

t %

t% correspond à une raison

q = 1 + \frac{t}{100}

q = 1 + t/100. Une suite géométrique traduit exactement une évolution à taux constant.

Que se passe-t-il si un terme est nul ?

Tous les suivants le sont aussi, et le rapport n'est plus défini. Ce cas est donc exclu de la définition d'une suite géométrique.

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