Rendre irréductible : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : la fraction obtenue est irréductible et égale à la fraction de départ.

On peut aussi simplifier par étapes par des diviseurs communs successifs.

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$ 1, autrement dit quand leur PGCD vaut $1$ 1. C'est l'écriture la plus simple du nombre, celle attendue dans un résultat.

Diviser par le PGCD amène directement à cette forme, en une seule étape. Passer par des diviseurs plus petits fonctionne aussi, mais oblige à recommencer.

Exemple

\frac{12}{18}

12/18 :

PGCD (12, 18) = 6

PGCD (12, 18) = 6, donc

\frac{12}{18} = \frac{2}{3}

12/18 = 2/3.

Deuxième exemple

\frac{84}{126}

84/126 :

84 = 2^{2} \times 3 \times 7

84 = 2² × 3 × 7 et

126 = 2 \times 3^{2} \times 7

126 = 2 × 3² × 7, donc

PGCD (84; 126) = 2 \times 3 \times 7 = 42

PGCD (84 ;126) = 2 × 3 × 7 = 42, et

\frac{84}{126} = \frac{2}{3}

84/126 = 2/3.

Piège à éviter

Diviser par le PGCD (le plus grand) finit en une étape ; un diviseur plus petit oblige à re-simplifier.

Questions fréquentes

Comment vérifier qu'une fraction est irréductible ?

En cherchant un diviseur commun : si le PGCD du numérateur et du dénominateur vaut

1

1, c'est terminé.

2

2 et

3

3 n'ont que

1

1 en commun, donc

\frac{2}{3}

2/3 est irréductible.

Comment trouver le PGCD rapidement ?

Par décomposition en facteurs premiers, en gardant les facteurs communs au plus petit exposant, ou par l'algorithme d'Euclide en enchaînant les divisions.

Une fraction de dénominateur premier est-elle irréductible ?

Oui, sauf si le numérateur est un multiple de ce nombre premier :

\frac{4}{7}

4/7 est irréductible,

\frac{14}{7}

14/7 ne l'est pas puisqu'il vaut

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