Notion

Les puissances

Une puissance est une écriture abrégée d'une multiplication répétée du même facteur : $a^{n}$ aⁿ (lu « $a$ a puissance $n$ n ») désigne le produit de $n$ n facteurs égaux à $a$ a, comme $2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ 2⁴=2×2×2×2=16. Le nombre $a$ a est la base, $n$ n l'exposant. On étend la définition avec $a^{0} = 1$ a⁰=1, $a^{1} = a$ a¹=a, et l'exposant négatif $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ a⁻ⁿ=1/aⁿ. Les puissances obéissent à des règles de calcul : $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ a^(m)× aⁿ=a^(m+n), $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ a^(m)/aⁿ=a^(m-n), $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ (a^(m))ⁿ=a^(mn). Elles servent à écrire de très grands ou très petits nombres (notation scientifique) et interviennent dans les aires, les volumes et les croissances.

Définitions

Puissance: $a^{n}$ aⁿ est le produit de $n$ n facteurs égaux à $a$ a (pour $n$ n entier positif). $a$ a est la base, $n$ n l'exposant.
Exposant négatif et nul: $a^{0} = 1$ a⁰ = 1 (pour $a \neq = 0$ a ≠ 0) et $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Formules

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Propriétés des puissances →

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{mn} a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

a^(m) × aⁿ = a^(m+n) a^(m)/aⁿ = a^(m-n) (a^(m))ⁿ = a^(mn) a⁻ⁿ = 1/aⁿAdditionner les exposants pour un produit, etc.Puissance d'un produit, d'un quotient, exposant négatif →

(ab)^{n} = a^{n} b^{n} (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}} a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

(ab)ⁿ=aⁿ bⁿ (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ a⁻ⁿ=1/aⁿLa puissance se distribue sur un produit ou un quotient.

Méthodes

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Calculer avec des puissances →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Produit de puissances

Niveau 1 · Application directe

Calculer

2^{3} \times 2^{2}

2³ × 2².

Voir la correction

1.
Même base : $2^{3 + 2} = 2^{5}$ 2³⁺² = 2⁵.
→ Propriétés des puissances
2.
$= 32$ = 32.

Réponse :

32

32.

Méthode utilisée : $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ a^(m)× aⁿ=a^(m+n).

Erreur fréquente : Multiplier les exposants : $2^{3} \times 2^{2} = 2^{5}$ 2³× 2²=2⁵, pas $2^{6}$ 2⁶.

Puissance de puissance

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer

(2^{3})^{2}

(2³)².

Voir la correction

1.
On multiplie les exposants : $2^{3 \times 2} = 2^{6}$ 2^(3× 2) = 2⁶.
→ Propriétés des puissances
2.
$= 64$ = 64.

Réponse :

64

64.

Erreur fréquente : Additionner les exposants : $(2^{3})^{2} = 2^{6}$ (2³)²=2⁶, pas $2^{5}$ 2⁵.

Faire les 10 exercices types sur puissances8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une puissance ?

C'est une multiplication répétée du même nombre. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. La base est 2, l'exposant 3 indique combien de fois on multiplie.

Comment multiplier deux puissances de même base ?

On additionne les exposants : 2³ × 2² = 2⁵ = 32. Surtout pas les multiplier.

Que vaut a⁰ ?

a⁰ = 1 pour tout nombre a non nul. Et a⁻ⁿ = 1/aⁿ (l'exposant négatif donne l'inverse).

Quelles sont les règles de calcul des puissances ?

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ et a⁰ = 1 (pour a ≠ 0).

Que vaut une puissance négative ?

a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Par exemple 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125.

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