Ordre de grandeur : la formule et un exemple

Q: Deux nombres très différents peuvent-ils avoir le même ordre de grandeur ?

Oui : 1 200 et 4 800 ont tous deux 10³ pour ordre de grandeur. L'ordre de grandeur mesure l'échelle, pas la valeur.

Q: À quoi sert l'ordre de grandeur en pratique ?

À vérifier un résultat : si un calcul donne 10⁷ alors que l'ordre de grandeur attendu est 10³, c'est qu'il y a une erreur de puissance quelque part.

Q: Comment multiplier deux ordres de grandeur ?

On additionne les exposants : 10³ × 10⁵ = 10⁸. C'est ce qui rend l'estimation si rapide.

Ce que dit la formule

On écrit le nombre en notation scientifique $a \times 1 0^{n}$ a × 10ⁿ, puis on arrondit $a$ a : s'il est inférieur à $5$ 5, l'ordre de grandeur est $1 0^{n}$ 10ⁿ ; sinon, $1 0^{n + 1}$ 10ⁿ⁺¹.

L'ordre de grandeur est toujours une puissance de $10$ 10.

L'ordre de grandeur sert à estimer sans calculer : il répond à « combien de zéros ? » plutôt qu'à « combien exactement ? ». C'est l'outil du contrôle de vraisemblance, en physique comme en calcul mental.

Le seuil $5$ 5 n'est pas arbitraire : c'est le milieu de l'intervalle $[1; 10 [$ [1 ;10[, donc la frontière entre les nombres plus proches de $1 0^{n}$ 10ⁿ et ceux plus proches de $1 0^{n + 1}$ 10ⁿ⁺¹.

Exemple

34000 = 3, 4 \times 1 0^{4}

34 000 = 3,4 × 10⁴ :

3, 4 < 5

3,4 < 5, ordre de grandeur

1 0^{4}

10⁴.

78000 = 7, 8 \times 1 0^{4}

78 000 = 7,8 × 10⁴ :

7, 8 \geq 5

7,8 ≥ 5, ordre

1 0^{5}

10⁵.

Deuxième exemple

4900000 = 4, 9 \times 1 0^{6}

4 900 000 = 4,9 × 10⁶ : comme

4, 9 < 5

4,9 < 5, l'ordre de grandeur est

1 0^{6}

10⁶, soit un million — alors que le nombre est presque cinq millions.

Piège à éviter

On compare le coefficient

a

a à

5

5, pas à

10

10.

Questions fréquentes

Deux nombres très différents peuvent-ils avoir le même ordre de grandeur ?

Oui :

1200

1 200 et

4800

4 800 ont tous deux

1 0^{3}

10³ pour ordre de grandeur. L'ordre de grandeur mesure l'échelle, pas la valeur.

À quoi sert l'ordre de grandeur en pratique ?

À vérifier un résultat : si un calcul donne

1 0^{7}

10⁷ alors que l'ordre de grandeur attendu est

1 0^{3}

10³, c'est qu'il y a une erreur de puissance quelque part.

Comment multiplier deux ordres de grandeur ?

On additionne les exposants :

1 0^{3} \times 1 0^{5} = 1 0^{8}

10³ × 10⁵ = 10⁸. C'est ce qui rend l'estimation si rapide.

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