Pourquoi Alice trouve-t-elle que « quatre fois cinq font douze » ? Lewis Carroll et les bases de numération

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié Alice's Adventures in Wonderland, et j'ai appris que son auteur, Lewis Carroll, s'appelait en réalité Charles Dodgson et enseignait les mathématiques à Oxford. Un passage où Alice se trompe dans ses tables de multiplication m'a intrigué. En cherchant, j'ai découvert une interprétation mathématique étonnante : ses erreurs sont justes, dans d'autres bases.

L'enjeu et les notions du programme

Écrire un nombre dans une base quelconque par division euclidienne, et découvrir une régularité dans une suite d'écritures.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Après sa chute dans le terrier du lapin, Alice doute de son identité et tente de réciter ce qu'elle sait : « Let me see: four times five is twelve, and four times six is thirteen, and four times seven is — oh dear! I shall never get to twenty at that rate! » Problématique : ces erreurs sont-elles de simples absurdités, ou cachent-elles une logique mathématique ?

2. 2. Mathématiques : changer de base

   4 min

   En base 10, « 12 » signifie $1\times 10+2$1×10+2. En base $b$b, « 12 » signifie $1\times b+2$1× b+2. Pour écrire un nombre en base $b$b, on fait la division euclidienne par $b$b : le quotient et le reste donnent les chiffres.

   $4\times 5=20$4×5=20. En base 18 : $20=1\times 18+2$20=1×18+2, qui s'écrit « 12 ». $4\times 6=24$4×6=24. En base 21 : $24=1\times 21+3$24=1×21+3, qui s'écrit « 13 ». $4\times 7=28$4×7=28. En base 24 : $28=1\times 24+4$28=1×24+4, soit « 14 ». La règle : la base augmente de 3 quand le produit augmente de 4, et le résultat écrit augmente de 1.

   Jusqu'où ? Pour $4\times n$4× n en base $b=18+3(n-5)$b=18+3(n-5), on obtient toujours « 1 » suivi du chiffre $4n-b=n-3$4n-b=n-3. Pour $n=12$n=12 : $48=1\times 39+9$48=1×39+9, « 19 ». Pour $n=13$n=13 : $52=1\times 42+10$52=1×42+10. Le chiffre des unités vaut 10, ce qui n'est pas « 0 » : on écrit « 1 » suivi d'un chiffre dix, et jamais « 20 ». Alice a raison : « I shall never get to twenty at that rate! »

   Cette interprétation, proposée par des lecteurs mathématiciens, n'est pas attestée par Carroll lui-même. Mais elle est cohérente avec son goût pour les jeux logiques et numériques.

3. 3. In English: nonsense with a logic

   3 min

   Lewis Carroll was the pen name of Charles Lutwidge Dodgson, a mathematics lecturer at Christ Church, Oxford. He wrote the story in 1865 for Alice Liddell, the daughter of the dean of his college. Victorian children learnt their lessons by rote, and Alice's confusion parodies this kind of education: she recites poems and multiplication tables, but everything comes out wrong.

   Carroll's nonsense is never random. Wonderland obeys strange rules, and characters such as the Mad Hatter or the Cheshire Cat argue with a twisted but rigorous logic. Some critics have even read the book as a satire of the new mathematics of his time, which Dodgson, a conservative mathematician, found absurd. Whether or not the base interpretation is what Carroll intended, it shows how his writing invites readers to look for hidden structures. Nonsense, for Carroll, is a game with rules.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   « Quatre fois cinq font douze » est juste en base 18, « quatre fois six font treize » en base 21 : en augmentant la base de 3, on n'atteint jamais vingt. Une division euclidienne donne un sens mathématique à l'absurde de Carroll. J'ouvre sur les autres jeux logiques de Dodgson, comme ses syllogismes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Présenter l'interprétation comme une intention prouvée de Carroll.
• Confondre le chiffre et le nombre qu'il représente.
• Oublier qu'en base b les chiffres vont de 0 à b − 1.

Revoir les notions

• Nombres et calculs (Seconde) →
• Algorithmique et Python (Seconde) →

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