Peut-on gagner à « pair ou impair » en devinant les pensées de l'adversaire ? Poe et la théorie des jeux

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié Edgar Allan Poe, inventeur du roman policier avec son détective Dupin. Dans The Purloined Letter, Dupin explique sa méthode à l'aide d'un jeu d'enfants, pair ou impair. J'ai voulu vérifier son raisonnement avec les probabilités, et j'ai découvert qu'il annonçait la théorie des jeux, développée un siècle plus tard.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une probabilité de gain selon les stratégies, montrer qu'une stratégie aléatoire 1/2 est imbattable et qu'une stratégie prévisible est exploitable.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Au jeu de pair ou impair, un joueur cache des billes dans sa main, l'autre devine si leur nombre est pair ou impair. Dans la nouvelle de Poe, un écolier gagne toujours en se mettant à la place de l'autre. Problématique : est-il vraiment possible de gagner plus souvent qu'une fois sur deux, et à quelles conditions ?

2. 2. Mathématiques : stratégies et probabilités

   4 min

   Le joueur A cache un nombre pair avec la probabilité $p$p, impair avec $1-p$1-p. Le joueur B annonce « pair » avec la probabilité $q$q, indépendamment. B gagne s'il devine juste : $P(\text{gain})=pq+(1-p)(1-q)$P( gain )=pq+(1-p)(1-q).

   Si A joue au hasard, $p=\frac{1}{2}$p=1/2 : $P(\text{gain})=\frac{1}{2}q+\frac{1}{2}(1-q)=\frac{1}{2}$P( gain )=1/2q+1/2(1-q)=1/2, quelle que soit la stratégie de B. Aucune ruse ne bat un adversaire réellement aléatoire.

   Si A est prévisible, par exemple $p=0,7$p=0,7 : $P(\text{gain})=0,7q+0,3(1-q)=0,3+0,4q$P( gain )=0,7q+0,3(1-q)=0,3+0,4q. C'est une fonction affine croissante de $q$q, maximale pour $q=1$q=1 : en annonçant toujours « pair », B gagne 70 % du temps. En général, la meilleure réponse rapporte $\max (p;1-p)$max(p;1-p).

   Avec une mise de 1 bille par partie, l'espérance de gain de B vaut $0,7\times 1+0,3\times (-1)=0,4$0,7×1+0,3×(-1)=0,4 bille par partie face à ce joueur prévisible, et 0 face à un joueur aléatoire.

   C'est le principe de la stratégie mixte de la théorie des jeux, formalisée par John von Neumann en 1928 : dans un jeu où l'un gagne ce que l'autre perd, jouer au hasard avec la bonne probabilité garantit de ne pas être exploité. L'écolier de Poe gagne parce que ses adversaires, humains, ne jouent pas vraiment au hasard.

3. 3. In English: Dupin's method

   3 min

   In The Purloined Letter (1844), Dupin explains how a schoolboy won all the marbles of his school: "When I wish to find out how wise, or how stupid, or how good, or how wicked is any one, or what are his thoughts at the moment, I fashion the expression of my face, as accurately as possible, in accordance with the expression of his, and then wait to see what thoughts or sentiments arise in my mind." The boy identifies with his opponent's intellect.

   Dupin applies the same method to the Minister who stole the letter. The police search everywhere with scientific methods but fail, because they assume the Minister thinks like them. Dupin guesses that the Minister, a clever man, has hidden the letter in plain sight, in a card rack, where nobody would look. Poe thus opposes mechanical reasoning and imaginative reasoning. The mathematics adds an interesting nuance: against a perfectly random opponent, even Dupin could not do better than chance.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Face à un adversaire qui joue au hasard avec $p=\frac{1}{2}$p=1/2, toute stratégie gagne exactement une fois sur deux ; face à un joueur prévisible, la meilleure réponse rapporte $\max (p;1-p)$max(p;1-p). La méthode de Dupin fonctionne parce que les humains sont prévisibles. J'ouvre sur la théorie des jeux de von Neumann et sur le jeu de pierre-feuille-ciseaux.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire qu'une stratégie astucieuse bat un adversaire aléatoire.
• Oublier l'hypothèse d'indépendance des choix.
• Confondre probabilité de gain et espérance de gain.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (Première spé maths) →
• Fonctions affines (Seconde) →

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