Pourquoi les chapitres du Bizarre Incident du chien pendant la nuit sont-ils numérotés par des nombres premiers ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons lu The Curious Incident of the Dog in the Night-Time, de Mark Haddon. Le narrateur, Christopher, un adolescent qui voit le monde autrement, adore les mathématiques. J'ai remarqué que les chapitres étaient numérotés par les nombres premiers. J'ai voulu comprendre pourquoi ces nombres le fascinent et comment ils se répartissent.

L'enjeu et les notions du programme

Construire la liste des nombres premiers par le crible d'Ératosthène, compter les nombres premiers et comparer leur nombre à l'approximation n/ln n.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Christopher, quinze ans, enquête sur la mort du chien de sa voisine. Il explique : « Chapters in books are usually given the cardinal numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6 and so on. But I have decided to give my chapters prime numbers 2, 3, 5, 7, 11, 13 and so on because I like prime numbers. » Problématique : que sont ces nombres, comment les trouver et comment se répartissent-ils ?

2. 2. Mathématiques : crible et raréfaction

   4 min

   Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui n'a que deux diviseurs, 1 et lui-même. Christopher décrit lui-même la méthode d'Ératosthène : on écrit les entiers, on barre les multiples de 2 (sauf 2), puis ceux de 3, de 5, de 7… Ce qui reste est premier. Pour aller jusqu'à 233, il suffit de barrer les multiples des premiers jusqu'à 13, car $17^2=289>233$17²=289>233 : un nombre composé a toujours un diviseur inférieur ou égal à sa racine carrée.

   Un programme Python compte les premiers : 25 jusqu'à 100, 51 jusqu'à 233 (le dernier chapitre du roman est donc le 51ᵉ), 168 jusqu'à 1 000. Ils se raréfient : un nombre sur quatre est premier avant 100, un sur six avant 1 000.

   Le théorème des nombres premiers, démontré en 1896, affirme que le nombre de premiers inférieurs à $n$n est voisin de $\frac{n}{\ln n}$n/(ln n). Pour $n=233$n=233 : $\frac{233}{\ln 233}\approx 42,7$233/ln233≈42,7, contre 51. Pour $n=1000$n=1 000 : environ 145, contre 168. L'approximation sous-estime, mais le rapport tend vers 1 quand $n$n grandit. La « densité » des premiers autour de $n$n vaut environ $\frac{1}{\ln n}$1/(ln n) : elle diminue très lentement, car le logarithme croît lentement.

   Pourtant, on ne peut pas prédire exactement où se trouve le prochain premier : leur répartition est régulière en moyenne, irrégulière dans le détail.

3. 3. In English: "Prime numbers are what is left"

   3 min

   Christopher says: "Prime numbers are what is left when you have taken all the patterns away. I think prime numbers are like life. They are very logical but you could never work out the rules, even if you spent all your time thinking about them." For him, mathematics is a refuge: it is clear and reliable, unlike people, whose emotions and metaphors he finds confusing.

   Haddon never names Christopher's condition in the novel, although the cover of early editions mentioned Asperger's syndrome. Haddon later regretted this label: he said the book was about "difference", not about a specific diagnosis. The choice of prime numbers for the chapters is a way of showing the world through Christopher's eyes: the reader has to adapt to his logic. The novel was adapted for the stage by the National Theatre in 2012, and it won several awards, including the Olivier Award for best new play.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Le crible d'Ératosthène donne les 51 premiers nombres premiers jusqu'à 233, numéros des chapitres du roman, et leur nombre suit à peu près $\frac{n}{\ln n}$n/(ln n). Les nombres premiers sont réguliers en moyenne, imprévisibles dans le détail, comme Christopher voit la vie. J'ouvre sur l'hypothèse de Riemann, qui préciserait cette répartition.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Compter 1 parmi les nombres premiers.
• Présenter n/ln n comme une formule exacte.
• Réduire le personnage à un diagnostic.

Revoir les notions

• Algorithmique et Python (Seconde) →
• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

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