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Comment imaginer une quatrième dimension ? Flatland, d'Edwin Abbott

Dans Flatland (1884), un carré qui vit dans un plan voit passer une sphère : il n'en perçoit que des cercles, de rayon √(R² − d²) selon la distance d au centre. Par analogie, on « voit » un hypercube : un cube de dimension n a 2ⁿ sommets et n × 2ⁿ⁻¹ arêtes, soit 16 sommets et 32 arêtes en dimension 4. Le roman est aussi une satire de la société victorienne.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la satire sociale dans la littérature victorienne, et Flatland: A Romance of Many Dimensions m'a étonné : c'est un roman dont les personnages sont des figures géométriques. Son auteur, Edwin Abbott, était directeur d'école. J'ai voulu comprendre comment il utilisait la géométrie pour nous aider à imaginer une dimension que nous ne pouvons pas voir.

L'enjeu et les notions du programme

Raisonner par analogie entre dimensions, calculer une section de sphère par le théorème de Pythagore et dénombrer les sommets et arêtes d'un hypercube.

Mathématiques

Géométrie dans l'espace : sections d'une sphère par un plan (terminale)
Théorème de Pythagore (collège, seconde)
Dénombrement et suites : 2ⁿ, n × 2ⁿ⁻¹ (terminale)

LLCER anglais (dont anglais, monde contemporain)

Thématique « Imaginaires » : mondes imaginaires et science-fiction (première LLCER)
Thématique « Arts et débats d'idées » : satire de la société victorienne (terminale LLCER)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Le narrateur de Flatland est un carré qui vit dans un monde à deux dimensions. Un jour, une sphère venue de « Spaceland » lui rend visite. Problématique : comment un être plat peut-il comprendre la troisième dimension, et que nous apprend cette analogie sur une quatrième ?
2. Mathématiques : sections et hypercubes
4 min
La sphère de rayon $R$ R traverse le plan du carré. À la distance $d$ d de son centre, le plan coupe la sphère selon un cercle. Dans le triangle rectangle formé par le centre, le centre du cercle et un point du cercle, le théorème de Pythagore donne le rayon $r = R^{2} - d^{2}$ r=√(R²-d²).
Pour $R = 5$ R=5 : à $d = 4$ d=4, $r = 3$ r=3 ; à $d = 3$ d=3, $r = 4$ r=4 ; à $d = 0$ d=0, $r = 5$ r=5. Le carré voit un point apparaître, grandir en cercle jusqu'au rayon 5, puis rétrécir et disparaître. Il ne voit jamais la sphère entière. De même, une « hypersphère » qui traverserait notre espace nous apparaîtrait comme une boule qui grandit puis rétrécit.
Hypercube : on construit les cubes de dimension croissante en « traînant » le précédent dans une nouvelle direction. Un point (dimension 0) devient un segment, puis un carré, puis un cube, puis un hypercube. À chaque étape, le nombre de sommets double : $S_{n} = 2^{n}$ Sₙ=2ⁿ. Les arêtes : on garde les arêtes des deux copies et on relie les sommets correspondants, donc $A_{n + 1} = 2 A_{n} + S_{n}$ Aₙ₊₁=2Aₙ+Sₙ.
On obtient 0, 1, 4, 12, 32 arêtes, et l'on vérifie la formule $A_{n} = n \times 2^{n - 1}$ Aₙ=n×2ⁿ⁻¹ : chaque sommet touche $n$ n arêtes, et chaque arête a 2 sommets, donc $A_{n} = \frac{n \times 2 ^{n}}{2}$ Aₙ=n×2ⁿ/2. L'hypercube de dimension 4 a 16 sommets et 32 arêtes. On ne peut pas le voir, mais on peut le compter.
3. In English: a satire in two dimensions
3 min
Flatland is not only a mathematical fantasy. It is also a satire of Victorian society. In Flatland, social rank depends on the number of sides: workers are triangles, the middle class are squares, and the aristocracy are polygons with many sides, while priests are circles. Women are mere straight lines, considered dangerous and without intelligence, and they are forbidden to receive an education.
Abbott, a headmaster who supported education for women, uses irony to criticise the rigid hierarchies of his own society. When the Square tries to tell others about the third dimension, he is imprisoned for heresy. The book suggests that we too may be prisoners of our limited perception, unable to imagine what lies beyond. Flatland has inspired many scientists and writers, and it is still used to introduce the idea of higher dimensions in physics, from relativity to string theory.
4. Conclusion
1,5 min
Le carré de Flatland voit la sphère comme des cercles de rayon $R^{2} - d^{2}$ √(R²-d²), et l'analogie permet de dénombrer les 16 sommets et 32 arêtes d'un hypercube. Le raisonnement mathématique prolonge l'intuition au-delà de ce que l'on voit, comme la satire d'Abbott prolonge la critique sociale. J'ouvre sur les dimensions supplémentaires en physique.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

r = R^{2} - d^{2} : R = 5, d = 4 \Rightarrow r = 3 S_{n} = 2^{n} A_{n + 1} = 2 A_{n} + S_{n} r=\sqrt(R²-d²): R=5, d=4\Rightarrow r=3 Sₙ=2ⁿ Aₙ₊₁=2Aₙ+Sₙ A_{n} = n \times 2^{n - 1} : 0, 1, 4, 12, 32 hypercube : 16 sommets, 32 ar \overset{e}{ˆ} tes Aₙ=n\times2ⁿ⁻¹: 0, 1, 4, 12, 32 hypercube : 16 sommets , 32 arêtes

Conclusion : la réponse à la question

L'analogie entre dimensions, appuyée sur Pythagore et le dénombrement, permet de décrire ce qu'on ne peut pas voir. Flatland en fait une fable, à la fois mathématique et sociale.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi A(n+1) = 2A(n) + S(n) ?

On a les arêtes des deux copies, plus une arête pour relier chaque sommet à sa copie.

Combien de faces carrées a un cube ? Et un hypercube ?

6 pour le cube ; 24 pour l'hypercube (on peut le vérifier par la même méthode).

How is social rank defined in Flatland?

By the number of sides: the more sides a figure has, the higher its rank.

Why is the Square imprisoned?

Because he preaches the existence of a third dimension, which is considered heresy.

Que verrait-on d'un hypercube traversant notre espace ?

Des sections en volume, qui changeraient de forme au fil de son passage.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre le rayon de la sphère et celui de la section.
Oublier les arêtes qui relient les deux copies.
Ignorer la dimension satirique du roman.

Revoir les notions

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