Combien de records devrait-on voir si les athlètes ne progressaient pas ? Bannister et le mile en moins de 4 minutes

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié des figures du sport britannique, et Roger Bannister, étudiant en médecine qui a couru le premier mile en moins de quatre minutes, en 1954, à Oxford, en est un symbole. J'ai voulu savoir si les records étaient battus parce que les athlètes progressent, ou simplement par hasard. J'ai découvert un calcul élégant qui donne le nombre de records attendus si rien ne changeait.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la probabilité qu'un élément d'une suite aléatoire soit un record, et en déduire l'espérance du nombre de records par une somme harmonique.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Le 6 mai 1954, Roger Bannister court le mile en 3 min 59 s 4, une barrière que beaucoup croyaient infranchissable. Son record tient 46 jours. Problématique : un record battu prouve-t-il un progrès, ou peut-il être dû au hasard ?

2. 2. Mathématiques : la probabilité qu'une année soit un record

   4 min

   Hypothèse « sans progrès » : chaque année, la meilleure performance est tirée au hasard dans la même loi, indépendamment des autres années, sans égalité possible.

   Probabilité que l'année $n$n soit un record : parmi les $n$n premières performances, chacune a la même chance d'être la meilleure, par symétrie. La probabilité que ce soit la dernière vaut $\frac{1}{n}$1/n. L'année 1 est toujours un record ; l'année 2 l'est avec la probabilité $\frac{1}{2}$1/2 ; l'année 10, avec $\frac{1}{10}$1/10.

   Nombre moyen de records : on note $X_k$Xₖ la variable qui vaut 1 si l'année $k$k est un record, 0 sinon ; son espérance vaut $\frac{1}{k}$1/k. Le nombre de records en $n$n années est $X_1+\cdots +X_n$X₁+…+Xₙ, d'espérance $1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}=H_n$1+1/2+…+1/n=Hₙ.

   $H_{100}\approx 5,19$H₁₀₀≈5,19. En 100 ans sans progrès, on attendrait environ 5 records seulement. Comme $H_n\approx \ln n+0,58$Hₙ≈ln n+0,58, les records se raréfient : en 1 000 ans, environ 7,5 records.

   Comparaison : le record du monde du mile a été amélioré plus de trente fois au XXᵉ siècle, de 4 min 15 en 1913 à 3 min 43 en 1999. Ce nombre est bien trop grand pour s'expliquer par le hasard : les athlètes ont réellement progressé (entraînement, nutrition, pistes, professionnalisation). À l'inverse, dans des disciplines où les records sont devenus très rares, on peut se demander si les performances atteignent un plateau.

3. 3. In English: "the four-minute mile"

   3 min

   Roger Bannister was a medical student who trained only about half an hour a day, between his studies. On the 6th of May 1954, at the Iffley Road track in Oxford, with two friends acting as pacemakers, he ran the mile in 3 minutes 59.4 seconds. The race became a symbol of human achievement, at a time when Britain was recovering from the war and losing its empire.

   Many people had believed that the four-minute mile was physically impossible. Yet only 46 days later, the Australian John Landy broke Bannister's record, and dozens of runners ran under four minutes in the following years. This is often used as an example of a "psychological barrier": once people know that something is possible, they achieve it. Bannister later became a famous neurologist, and he said that his medical work was more important to him than his record. He was knighted in 1975.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Sans progrès, l'année $n$n serait un record avec la probabilité $\frac{1}{n}$1/n, et l'on n'attendrait qu'environ $H_{100}\approx 5$H₁₀₀≈5 records en un siècle. Les dizaines de records du mile prouvent un progrès réel. La série harmonique distingue le hasard du progrès. J'ouvre sur la « barrière psychologique » franchie par Bannister et sur la question des plateaux de performance.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que chaque année a une chance sur deux d'être un record.
• Oublier l'hypothèse d'indépendance et de même loi.
• Confondre record et performance moyenne.

Revoir les notions

• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →
• Variables aléatoires (Première spé maths) →

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