Comment fixer le score à battre quand la pluie interrompt un match de cricket ? La méthode Duckworth-Lewis

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié le cricket, sport emblématique du Royaume-Uni et du Commonwealth, et j'ai été intrigué par une règle utilisée quand la pluie interrompt un match : la méthode Duckworth-Lewis, conçue par deux statisticiens anglais. Une simple règle de proportionnalité serait injuste. J'ai voulu comprendre leur modèle, qui repose sur une fonction exponentielle.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une quantité qui tend vers une limite par une fonction exponentielle, et l'utiliser pour calculer une proportion de ressources.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Dans un match de cricket d'un jour, chaque équipe dispose de 50 overs (séries de 6 lancers) pour marquer le plus de points possible. Si la pluie réduit le temps de jeu de la seconde équipe, quel score doit-elle atteindre ? Problématique : comment fixer un objectif équitable ?

2. 2. Mathématiques : une ressource exponentielle

   4 min

   Première idée : la proportionnalité. Si la seconde équipe n'a que 40 overs au lieu de 50, elle devrait marquer $\frac{40}{50}\times 250=200$40/50×250=200 points. C'est injuste : une équipe qui sait avoir moins d'overs prend plus de risques et marque plus vite. Les derniers overs, joués avec moins de batteurs, ne rapportent pas autant que les premiers.

   Modèle de Duckworth et Lewis : le nombre moyen de points qu'une équipe peut encore marquer avec $u$u overs restants vaut $Z(u)=Z_0\left(1-e^{-bu}\right)$Z(u)=Z₀(1-e^(-bu)). Cette fonction croît et tend vers $Z_0$Z₀ : au-delà d'un certain nombre d'overs, en ajouter apporte de moins en moins. Elle est solution de l'équation différentielle $Z^{\prime }=b(Z_0-Z)$Z'=b(Z₀-Z) : chaque over supplémentaire rapporte d'autant moins que l'on est proche du maximum.

   Ressources : la part des ressources disponibles avec $u$u overs, par rapport à 50, vaut $\frac{Z(u)}{Z(50)}=\frac{1-e^{-bu}}{1-e^{-50b}}$Z(u)/Z(50)=(1-e^(-bu))/(1-e^(-50b)). Avec $b\approx 0,0275$b≈0,0275 : pour $u=40$u=40, environ 0,893, soit 89 % des ressources, et non 80 %. Pour $u=25$u=25, environ 67 %, et non 50 %.

   Objectif : la première équipe a marqué 250 points avec 100 % des ressources. La seconde, avec 89 %, doit dépasser $250\times 0,893\approx 223$250×0,893≈223 : elle doit marquer 224 points pour gagner, plus que les 200 de la règle proportionnelle.

   Le vrai modèle tient aussi compte du nombre de batteurs éliminés (« wickets ») : ce sont des tables à deux entrées, calculées avec des paramètres différents.

3. 3. In English: two statisticians and the rain

   3 min

   The method was devised by Frank Duckworth and Tony Lewis, two English statisticians, after a famous incident in the 1992 World Cup semi-final between England and South Africa. When rain stopped play, the old rule left South Africa needing 22 runs from a single ball, an impossible target. Their method was adopted by the International Cricket Council in 1999, and it was later updated by the Australian statistician Steven Stern, which is why it is now called the Duckworth-Lewis-Stern method.

   Cricket is more than a sport in Britain and in the Commonwealth: it is associated with the idea of "fair play", and the expression "it's not cricket" means "it's unfair". The game was exported by the British Empire to India, Pakistan, Australia, South Africa and the West Indies, where it became a national passion, and sometimes a way to defeat the former colonial power. Today, India is the economic centre of world cricket.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Avec $Z(u)=Z_0(1-e^{-bu})$Z(u)=Z₀(1-e^(-bu)), 40 overs représentent environ 89 % des ressources de 50, et l'objectif passe à 224 points au lieu des 200 de la proportionnalité. Une fonction exponentielle a rendu plus équitables les matchs interrompus par la pluie. J'ouvre sur l'expression « it's not cricket » et le fair-play britannique.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Appliquer une simple proportionnalité.
• Oublier le rôle des batteurs éliminés dans le vrai modèle.
• Confondre ressources et points marqués.

Revoir les notions

• Fonction exponentielle (Terminale spé maths) →
• Primitives et équations différentielles (Terminale spé maths) →

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