Que signifiait la cote de 5 000 contre 1 de Leicester City, champion d'Angleterre en 2016 ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié le football anglais et la Premier League, devenue le championnat le plus riche du monde. L'histoire de Leicester City, champion en 2016 alors que les bookmakers lui donnaient une chance sur 5 000, m'a fasciné. J'ai voulu comprendre comment lire une cote, la transformer en probabilité, et comprendre comment les bookmakers gagnent de l'argent quel que soit le résultat.

L'enjeu et les notions du programme

Convertir une cote en probabilité implicite, calculer la marge d'un bookmaker et interpréter l'espérance de gain d'un pari.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   En août 2015, Leicester City, sauvé de justesse de la relégation la saison précédente, est coté à 5 000 contre 1 pour remporter le championnat. En mai 2016, il est champion. Problématique : que signifiait cette cote, et que nous apprend-elle sur les probabilités et les paris ?

2. 2. Mathématiques : de la cote à la probabilité

   4 min

   Une cote « 5 000 contre 1 » (cote fractionnaire britannique 5000/1) signifie qu'une mise de 1 £ rapporte 5 000 £ de gain en cas de succès, plus la mise remboursée. Le pari serait équitable si l'espérance de gain était nulle : $p\times 5000-(1-p)\times 1=0$p×5 000-(1-p)×1=0, soit $p=\frac{1}{5001}\approx 0,02\%$p=1/(5 001)≈0,02 %. C'est la probabilité implicite.

   Pour une cote $a/b$a/b, la probabilité implicite vaut $\frac{b}{a+b}$b/(a+b). Une cote de 2/1 correspond à $\frac{1}{3}$1/3, une cote de 1/2 (favori) à $\frac{2}{3}$2/3.

   La marge du bookmaker : pour un match avec trois résultats possibles, des cotes de 6/4, 9/4 et 2/1 donnent des probabilités implicites $\frac{4}{10}=0,40$4/10=0,40, $\frac{4}{13}\approx 0,31$4/13≈0,31 et $\frac{1}{3}\approx 0,33$1/3≈0,33. Leur somme vaut environ 1,04 : 104 %. Les 4 % en trop sont la marge : si les mises sont bien réparties, le bookmaker gagne environ 4 % des sommes pariées, quel que soit le résultat.

   Pour un parieur, l'espérance de gain est donc négative en moyenne. Un pari n'est intéressant que si l'on pense que la vraie probabilité est supérieure à la probabilité implicite. Pour Leicester, une probabilité réelle de 1 sur 1 000, cinq fois plus grande, aurait rendu le pari avantageux : espérance $\frac{1}{1000}\times 5000-\frac{999}{1000}\approx 4$1/(1 000)×5 000-999/(1 000)≈4 £ par livre misée. Après coup, de nombreux analystes ont estimé que la cote sous-évaluait fortement les chances de Leicester.

3. 3. In English: "Dilly ding, dilly dong"

   3 min

   Leicester City's victory in 2016 is often described as the greatest upset in the history of team sport. The club had a small budget compared with Manchester United, Chelsea or Arsenal, and its Italian manager, Claudio Ranieri, was known for his humour: he motivated his players with pizza and with his famous "dilly ding, dilly dong", a little bell to wake them up in training. Players such as Jamie Vardy, who had worked in a factory and played amateur football a few years earlier, became heroes.

   Bookmakers paid out several million pounds to fans who had bet small amounts at the start of the season, although some of them had cashed out early. The story became a modern fairy tale, in a league increasingly dominated by money from foreign owners and television rights. It also raises questions about gambling, which is very popular in Britain: betting adverts are everywhere in football, and some campaigners and politicians want to restrict them to protect young people.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Une cote de 5 000 contre 1 correspond à une probabilité implicite de $\frac{1}{5001}\approx 0,02\%$1/(5 001)≈0,02 %, et la somme des probabilités implicites, supérieure à 100 %, mesure la marge des bookmakers. Le titre de Leicester montre qu'une probabilité très faible n'est pas nulle, et que les cotes peuvent se tromper. J'ouvre sur le débat britannique sur la publicité pour les paris sportifs.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre cote et probabilité.
• Oublier la mise remboursée dans le calcul.
• Croire qu'une probabilité très faible signifie que l'événement est impossible.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (Première spé maths) →
• Probabilités (introduction) (Seconde) →

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